“追及”与“相遇”问题的分析方法种种.ppt

* “追及”与“相遇”问题的分析方法种种 朱建廉 南京市 金陵中学 如果两物体于同一时刻到达同一位置，则称为“相遇”；特别当两物体在同一直线上沿着同一方向运动而于同一时刻到达同一位置，则称为“追及”。 上述一段文本所描述的是一类运动学现象——“追及”与“相遇”的现象。 而作为一种独特类型的运动学问题，“追及”与“相遇”的问题所反映的是不同物体间的运动关系，相应的分析思路将呈现出多样化特征。 本文通过典型例题的分析，介绍几种针对“追及”与“相遇”问题的常见分析方法。 “追及”与“相遇”问题的分析方法种种 方法之一： ——“大胆假设，小心求证” 方法之二： ——“位移图像，形象直观” 方法之三： ——“速度图像，计算面积” 方法之四： ——“运动草图，梳理过程” 方法之五： ——“临界分析，把握关键” 方法之六： ——“相对运动，抓住本质” 方法1：“大胆假设，小心求证” 例题1：如图1所示，小球 A 以 v=4m/s 的速度作匀速直线运动，物体 B 在其前方 x0=7m 处以初速度 v0=10m/s 开始运动，由于摩擦的作用而使其运动速度均匀减小，其加速度大小为 a=2m/s2 。问：小球 A 经多长时间追上物体 B ？ 分析：由于是“匀速直线运动”追“匀减速直线运动”，所以“追及”应该不成问题。 但是，由于物体B在摩擦作用下作匀减速直线运动，一旦速度减为 零后就将保持静止状态。所以，相应的“追及”问题就存在着两种可能：第一种可能是“先追上，后停下”；第二种可能是“先停下，后追上”。 而在做出定量分析之前，将无法判断上述哪种可能将会成真，这是此例的解答中最应该予以关注的问题。 解答：不妨大胆假设第一种可能成真，即：“先追上，后停下”。于是便可由 而解得（舍去了一个负根：t = -1s） 在假设基础上列方程而求得的结论，必须通过验证方能最终确认。若物体B的速度经时间 t0 而减为零，则由 可见：此例所对应的物理过程应该是“先停下，后追上”。相应的计算应为 由此解得：小球 A 追及物体 B 所经历的时间为 小结：在“追及”与“相遇”的问题中，常会存在着诸如：是否能够“追及”、是否能够“相遇”、在不同阶段“追及”或“相遇”等多种可能，而不同的可能所对应的计算又会是不同的依据。这就需要在某种可能尚未被确认的前提下而作“大胆假设”，同时对“大胆假设”基础上所获得的结论又必须经过“小心求证”方能最终确认。 方法2：“位移图像，形象直观” 例题2：如图2所示，小球A以v=4m/s的速度作匀速直线运动，物体B在其后 x0 处以初速度v0=10m/s的作匀减速直线运动，其加速度的大小为 a=2m/s2。请在 x0 分别取如下各个数值的基础上分析：物体B 能否追上小球A？如果能追上，则在何时、于何处追上？ （1）A与B间原始距离为：x0=8m； （2）A与B间原始距离为：x0=9m； （3）A与B间原始距离为：x0=12m。 分析：和例题1中的过程恰好相反：这次是“匀减速直线运动”追“匀速直线运动”。因此，是否能够“追及”就不能得到保证。相应的解答实际上也可以沿用例题1中所谓的“大胆假设，小心求证”的分析方法。但在这里，我们给出一种较为直观、较为形象的图上作业方法。 解答：若取物体B的出发点为坐标原点、初速度方向为参考正方向建立坐标，则根据物体B的运动规律 而代入数据可得：物体B的位移随时间变化的函数为 在“x ~ t ”坐标平面内，其图像如图2-1所示。 在上述坐标下，根据小球A的运动规律 若将例题中所给的三组数据分别代入，则依次得到小球A的位移随时间变化的三个函数分别为 当把小球A和物体B的位移随时间变化的图像画在同一坐标平面内，则分别如图2-2、图2-3和图2-4所示。于是 （1）当小球A与物体B间原始距离为 x0=8m 时，xA1 曲线与 xB 曲线相交，其两个交点的物理含义分别为：当 t=2s 时，物体B在小球A运动了xA=8m 处追上小球A；当 t=4s 时，小球A在运动了xA=16m 处再次追上物体B。 （2）当小球A与物体B 间原始距离为x0=9m时，xA2 曲线与 xB 曲线相切，其切点的物理含义为：当t=3s 时，物体B 在小球A运动了xA=12m 处勉强追上小球A。 （3）当小球A与物体B 间原始距离为 x0=12m 时，xA3 曲线与 xB 曲线相分离而没有公共点，