弹性力学讲义-第2章(p).ppt

弹性力学讲义 ;第二章 平面问题的基本理论;;§2-1 平面应力问题与平面应变问题 ;应力、应变和位移 ;应力、应变和位移 ;平面应力问题 ; 只有平面应力分量存在 ， ， ，且仅为x，y 的函数的弹性力学问题。;平面应变问题 ;;平面应变问题 ;平面应变问题 ;平面应变问题—— 只有平面应变分量存在 ， ， ， 且仅为x，y 的函数的弹性力学问题。;平面问题思考题：;§2-2 平衡微分方程 ;§2-2 平衡微分方程 ;平均正应力或切应力的增量;静力平衡微分方程公式推导;静力平衡微分方程公式推导;过中心C平行z轴列力矩的平衡方程 ： ;§2-2 平衡微分方程 ;以x 轴为投影轴,列出投影的平衡方程 ;以x 轴为投影轴,列出投影的平衡方程 ;对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点： 平衡微分方程表示任一点(x, y) 的平衡条件，(x, y) 属于平面域A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。 式(2-2)第一式中所有的各项都是x 向的力，第二式均是y 向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。 在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。 平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。;5. 对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。 6. 由于 ，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程 (2-2) 中含有3个应力未知函数。 7. 弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。 ;(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为 试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。 ;解：;§2-3 几何方程 刚体位移 ;;;试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。;;;;;;;;;§2-4 物理方程 ;§2-5 物理方程 ;§2-4 物理方程 ;§2-4 物理方程 ;思考题：;§2-5 边界条件 ;边界条件 弹性力学问题分为位移边界问题 应力边界问题 混合边界问题;§2-5 边界条件 ;§2-5 边界条件 ;;;;;（2-1） 试列出图1所示问题的边界条件。 ;§2-6 圣维南原理 ;;;;圣维南原理应用举例;（c）;圣维南原理应用举例;例：试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？;例题;§2-7 按位移求解平面问题;§2-7 按位移求解平面问题;;;;;§2-7 按位移求解平面问题; ;位移表示的应力边界条件： ;平面应变问题;;边界条件;关于位移求解平面问题的特点;;;变形协调方程或相容方程 ;将 对y 偏导数两次， 将 对x 偏导数两次， 将 分别对x 和y 偏导数两次;变形协调方程或相容方程(Saint-Venant) ;;;;;将平面应力问题物理方程代入相容方程;将平衡微分方程写成 ;? ;平面应变问题;? ;§2-9 常体力的情况下的简化;;;若设函数 f =f (x，y)，则有;;;;; 逆解法——就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数 φ,再求出应力分量,然后根据应力边界条件来考察, 在各种形状的弹性体上, 这些应力分量对应于什么样的面力, 从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。 ;半逆解法——就是针对所要求解的问题, 根据弹性体的边界形状和受力情况, 假设部分或全部应力分量为某种相对简单些的函数,从而推出应力函数φ，然后来考察, 这个应力函数是否满足相容方程, 以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量, 是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足, 自然也就得出正确的解答; 如果某一方面不能满足, 就要另作假设, 重新考察。;思考题;§2-11 平面问题中一点的应力状态;设 AB 的长度为 ds PB 的长度为 lds PA 的长度为 mds;正应力 ;斜面上的切应力 ; 设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向(即主应力的方向)称为P点的一个应力主向。;主应力 ;b.主应力方向计算 ;; 的最大为1，最小0;c.求最大、最小切应力计算 ;最大、最小切应力;问题： 平面问题中， (a)已知一点的应力为 ，那么任一方向的正应力?n 为 ?n 为 ; （b）已知