微积分：不定积分的分部积分法.ppt

一、基本内容 解题技巧: 练习. 求 三、小结 练 习 题 练习题答案 * 课后练习 指出与正整数n有关的积分有时可求出递推公式. 一、基本内容 二、小结 三、思考题 第二十四节 分部积分法 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分(integration by parts)公式 1)v 容易求得 ; 容易计算 . 例1 求积分 解（一） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 例2 求积分 解 （再次使用分部积分法） 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) ? 例3 求积分 解 令 例4 求积分 解 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 . ? 练习 求 解 把被积函数视为两类函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例5. 求 解: 令 , 则 原式 = 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 解: 令 , 则 原式 = 练习 求 解 例6 求积分 解 例7 求积分 解 注意循环形式 例8 求积分 解 令 解 练习 求 令 则 . . 例9 推导以下递推公式: 解 循环 提示： 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递推公式 . 解 当n?1时, 用分部积分法, 有 例10 即 回归 解 两边同时对 求导, 得 二、不定积分在经济分析中的应用 例1 已知某企业的某种产品在产量为q（单位：千件）时的边际成本函数为 且固定成本为90万元，求总成本函数。 解：总成本函数一般形式： 总成本等于可变成本与固定成本之和，当产量为零时，可变成本为零，此时总成本为固定成本90,即C（0）＝90.代入总成本函数的一般形式，有 所以，C=80. 总成本函数的表达式为 * 例2 已知某集团公司生产的某种产品的边际收入是64q-q2 (单位：万元／百台)，其中q是售出的产品数量（单位：百台），求其收入函数。 解：收入函数一般形式 销售量为0时，收入为0,即R(0)=0.代入收入函数的一般形式，有 得，C=0 收入函数的表达式为： 例3 设某商品的需求量Q是价格p的函数，该商品的最大需求是1000（即当p=0时，Q＝1000）。已知需求量的变化率(边际需求)为 求需求量Q与价格p的函数关系。 解：已知需求量的变化率 ，求需求量函数，即求不定积分。有 * 由已知条件，p=0,Q=1000,代入上式得C=0.得到需求对价格的函数 合理选择 ，正确使用分部积分公式 思考题 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？ 思考题解答 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 第一次时若选 第二次时仍应选