快速傅里叶变换武汉理工大学数字信号处理.ppt

第5章快速傅里叶变换(FFT)Fast FourierTransforming 快速付里叶变换FFT 有限长序列通过离散傅里叶变换 (DFT)将其频 域离散化成有限长序列.但其计算量太大(与N的平方成正比）, 很难 实时地处理问题 , 因 此 引 出 了 快 速 傅 里 叶 变 换(FFT) . FFT 并 不 是 一 种 新 的 变 换 形 式 ,它 只 是 DFT 的 一 种 快 速 算 法 . 并 且 根 据 对 序 列 分 解 与 选 取 方 法 的 不 同 而 产 生 了 FFT 的 多 种 算 法 . FFT 在 离 散 傅 里 叶 反 变 换 、 线 性 卷 积 和 线 性 相 关 等 方 面 也 有 重 要 应 用.。 二、FFT产生故事 当时加文(Garwin)在自已的研究中极需要一个计算付里叶变换的快速方法。他注意到图基(J.W.Turkey)正在写有关付里叶变换的文章，因此详细询问了图基关于计算付里叶变换的技术知识。图基概括地对加文介绍了一种方法，它实质上就是后来的著名的库利(Cooley J.W)图基算法。在加文的迫切要求下，库利很快设计出一个计算机程序。1965年库利--图基在计算数学、Mathematic of Computation 杂志上发表了著名的“机器计算付里级数的一种算法”文章，提出一种快速计算DFT的方法和计算机程序--揭开了FFT发展史上的第一页，促使FFT算法产生原因还有1967年至1968年间FFT的数字硬件制成，电子数字计算机的条件， 使DFT的运算大简化了。 直接计算DFT的问题及改进的基本途径 一、直接计算DFT计算量 问题提出： 设有限长序列x(n),非零值长度为N,计算对x(n)进行一次DFT运算，共需多大的运算工作量? 1.比较DFT与IDFT之间的运算量 2.以DFT为例，计算DFT复数运算量 计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为 例k=1则 要进行N次复数乘法 (N-1)次复数加法 所以，要完成整个DFT运算，其计算量为： N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法 3.一次复数乘法换算成实数运算量 复数运算要比加法运算复杂，需要的运算时间长。 一个复数乘法包括4个实数乘法 和2个实数加法。 (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 4.计算DFT需要的实数运算量 每运算一个X(k)的值，需要进行 4N次实数相乘和 2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数相加. 整个DFT运算量为： 4N2次实数相乘和2N(2N-1)次实数相加. 由此看出： 直接计算DFT时，乘法次数与加法次数都是和N2成比例的。当N很大时，所需工作量非常可观。 例子 例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要： N2=220=1048576次，即一百多万次的复乘运算 这对实时性很强的信号处理(如雷达信号处理)来讲，它对计算速度有十分苛刻的要求--迫切需要改进DFT的计算方法，以减少总的运算次数。 例2：石油勘探，24道记录，每道波形记录长度5秒，若每秒抽样500点/秒， 每道总抽样点数=500*5=2500点 24道总抽样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次 二、改善DFT运算效率的基本途径 利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率。 1. 合并法：合并DFT运算中的某些项。 2. 分解法： 将长序列DFT利用对称性和周期性，分解为短序列DFT。 利用DFT运算的系数 的固有对称性 和周期性，改善DFT的运算效率 例子 例: 合并法： 合并DFT运算中的有些项 对虚实部而言 所以带入DFT中： 2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--思路 因为DFT的运算量与N2成正比的 如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合，则显然可以达到减少运算工作量的效果。 2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--方法 2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--结论 快速付里时变换(FFT)就是在此特性基础上发展起来的，并产生了多种FFT算法，其基本上可分成两大类： 按抽取方法分： 时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF) 按“基数”分：基-2FFT算法；基-4FFT算 法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法 其它方法：线性调