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§3.6 优化问题与规划模型 综合问题 一个城郊的社区计划更新消防站。 原来的消防站在旧城中心。 规划要将新的消防站设置得更科学合理 在前一个季度收集了火警反应时间的资料: 平均要用3.2分钟派遣消防队员; 消防队员到达火灾现场的时间(行车时间)依赖于火灾现场的距离。 行车时间的资料列于表1 从社区的不同区域打来的求救电话频率的数据列于图1。 其中每一格代表一平方英里, 格内的数字为每年从此区域打来的紧急求救电话的数量。 1)求反应时间。 消防队对离救火站r英里处打来的一个求救电话需要的反应时间估计为d分钟。 给出消防队对求救电话的反应时间的模型d(r) 2)求平均反应时间。 设社区位区域[0,6]?[0,6]内,(x,y)是新的消防站的位置。 根据求救电话频率,确定消防队对求救电话的平均反应时间z=f(x,y) 3)求新的消防站的最佳位置。 即确定函数f(x,y)的极小值点。 首先, §3.6 优化问题与规划模型 优化问题:与最大、最小、最长、最短等等有关的问题。 解决最优化问题的数学方法: 运筹学 运筹学主要分支: 线性规划、非线性规划、动态规划、 图与网络分析、存贮论、排队伦、 对策论、决策论。 1. 问题 例1 家具生产的安排 一. 家具公司生产桌子和椅子, 用于生产的 劳力共计450个工时,木材共有4立方米 每张桌子要使用15个工时,0.2立方木材 售价80元。 每张椅子使用10个工时,0.05立方木材 售价45元。 问为达到最大的收益,应如何安排生产? 分析: 1. 求什么? 生产多少桌子? 生产多少椅子? 2. 优化什么? 收益最大 3. 限制条件? 原料总量 劳力总数 规划问题:在约束条件下求目标函数的最优值点。 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件 都是决策变量的线性函数时, 称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解, 称可行解的集合为可行域 , 称使目标函数达最优值的可行解为最优解. 图解 法:(解两个变量的线性规划问题) 在平面上画出可行域(凸多边形), 计算目标函数在各极点(多边形顶点)处的值 比较后,取最值点为最优解。 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集 可行解集:线性不等式组的解 命题2 线性规划问题的目标函数(关于不同的目标值是一族平行直线, 命题3 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到 (穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点). 单纯形法 : 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解. 模型的标准化 正则模型: 决策变量: x1,x2,…,xn. 目标函数: Z=c1x1+c2x2+…+cnxn. 约束条件: a11x1+…+a1nxn≤b1, …… am1x1+…+amnxn≤bm, 模型的标准化 10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束 若有 ai1x1+…+ainxn≤bi, 则引入xn+i≥ 0, 使得 ai1x1+…+ainxn+ xn+i =bi 若有 aj1x1+…+ajnxn≥bj, 则引入xn+j≥ 0, 使得 aj1x1+…+ajnxn- xn+j =bj. 且有 Z=c1x1+c2x2+…+cnxn+0xn+1+…+0xn+m. 20. 将目标函数的优化变为目标函数的极大化. 若求 min Z, 令 Z’=–Z, 则问题变为 max Z’ . 30. 引入人工变量,使得所有变量均为非负. 若 xi 没有非负的条件, 则引入 xi’≥ 0 和 xi’’≥0, 令 xi= xi’– xi’’, 则可使得问题的全部变量均非负. 标准化模型 求变量 x1, x2,…, xn, max Z = c1x1+…+ cnxn, s. t. a11x1+…+ a1nxn= b1, …… am1x1+…+ amnxn= bm, x
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