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(2)当目标函数的下降量已达到充分小时,即: 也可以用目标函数值的相对下降量达到充分小时来表示,即: (3)当迭代点的目标函数梯度达到充分小时,即: 但是这种判别准则很可能把驻点作为最优值点输出,这是它的缺点。 在优化设计中,只要满足以上诸式中之一,就可算作目标函数值 已收敛于函数F(X)的极小值,近似最优化解已求得: 迭代即可以结束。 上述三个收敛准则都在一定程度上反映了达到极值点的特点,但都不能保证所取得的设计点 是全局最优点,它很可能是一个局部最优点,因此有必要进一步考查它是否为全局最优点。 判断全局最优点常采用的方法是: 同时取若干个相距甚远的两点作为初始点,考查它们最后迭代的最优解是否趋于同一解。 第三章 优化设计的数学模型 §3-1 设计变量 §3-2 约束条件 §3-3 目标函数 §3-4 优化设计的数学模型 §3-5 数学模型的几何描述 §3-6 优化设计的迭代过程及终止准则 优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式,它反映了物理现象各主要因素的内在联系,是进行优化设计的基础。 §3-1设计变量 一、设计变量 设计变量:在优化设计过程中是变化的,需要优选的 量。 设计参数:在优化设计过程中保持不变或预先确定 数值。 可以是几何参数:例,尺寸、形状、位置 运动学参数: 例,位移、速度、加速度 动力学参数: 例,力、力矩、应力 其它物理量: 例,质量、转动惯量、频率、挠度 非物理量: 例,效率、寿命、成本 设计向量:用 X =[x1, x2 , …,x n]T 表示, 是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。 二、设计点与设计空间 设计点: X(k)(x1(k), x2 (k), …,x n(k)): 是设计向量X(k)的端点,代表设计空间中的一个点,也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。 设计空间 Rn : 以x1, x2 , …,xn 为坐标轴,构成 n 维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点,即所有设计方案。 欧氏空间: 由于工程设计中的设计变量都是实数,所以称这种设计空间为欧式空间 三、连续量与离散量 一般来说,设计变量大多是一些连续变化的量。 但在机械设计中,有些变量也可能是跳跃式的量。例如齿轮的齿数必须为整数,模数必须符合国家标准所规定的值,轴承的尺寸必须符合产品样本中所规定的值等。凡属这类跳跃式的量称为离散量。 对于离散设计变量,在优化设计过程中常常把它们视作连续量,在求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化,以求得一个实用的最优方案。 §3-2 约束条件 设计空间是所有设计方案的集合,但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求,就称为可行设计。 一个可行设计必须满足某些设计限制条件,这些限制条件称作约束条件,简称约束。 一、设计约束的类型 (1) 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型。 (2) 根据约束的性质可以把它们区分成: 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如,选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求; 边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如,允许机床主轴选择的尺寸范围,对轴段长度的限定范围就属于边界约束。 (3) 显式约束 隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式,即反映设计变量之间明显的函数关系,有的只能表示成隐式形式 ,如例中的复杂结构的性能约束函数(变形、应力、频率等),需要通过有限元等方法计算求得。 可行域: 在可行域内任意一点称为可行设计点(内点),代表一个可行方案, 可行设计点的集合D称为可行设计区域。 非可行域: 在可行域外的点称为非可行设计点(外点),代表不可采用的设计方案,这种设计点的集合为非可行域。 二、可行域和非可行域 §3-3 目标函数 为了对设计进行定量评价,必
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