不等式的基本性质(人教版选修).ppt

第一讲 不等式和绝对值不等式 不等式的基本性质 (第一课时) 观察以下四个不等式： a+2 a+1----------------(1) a+33a-------------------(2) 3x+12x+6--------------(3) xa------------------------(4) 同向不等式： 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边（不等号的方向相同）. 异向不等式： 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个的左边小于右边（不等号的方向相反）. 同解不等式 形式不同但解相同的不等式。 其它重要概念 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式 2. 基本理论 1.实数在数轴上的性质: 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小： 例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小 解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) = (x－1) [2x3 - (x +1) ] = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] 技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。 = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 0 若x≠1 那么 (x -1)2 0则 2x4+1 2x3+x2 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 　　 若 x≠1 时 2x4+1 2x3+x2 例2、比较 练习题 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小. 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小. 练习 小结 主要内容 基本理论: a - b 0 = a b a - b = 0 = a = b a - b 0 = a b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积。 作业 * * * 一 不等式 0 Ｘ Ａ Ｂ a b ab x Ａ Ｂ a b ab x 用数学式子表示为: 设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么,当点A在点B的左边时,ab;当点A在点B的右边时,ab. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果ab,那么a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果ab,那么a-b是负数;反过来也对. 上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据。 要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比 较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数 比较大小提供了“标杆”。 思考？ 从上述事实出发，你认为可以用什么方法 比较两个实数的大小？ 求差比较大小 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。 练习 比较x2+y2与xy+x+y-1的大小． 【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 　　　　　　是：作差——变形——判断符号．常见的变形　　 　　　　　　手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 　　　　　　是常数、若干个因式的积或完全平方式等. 【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法. 【典型例题】 例3、比较以下两个实数的大小： 作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小． 2、选择题： 已知 ，在以下4个不等式中正确的是： （1） （2） （3） （4）