中学数学思想和方法.ppt

讲课老师：刘艳伟 数学思想方法分类 数学思想方法大体上可分为三种类型。 1.宏观型思想方法 2.逻辑型思想方法 3.操作技巧型思想方法 宏观型思想方法，包括抽象概括、化归方法、数学模型、数形结合方法、归纳猜想等。其中抽象概括、数学模型、归纳猜想等方法常常与数学知识的发生、发现过程紧密联系，是将现实问题进行数学化的重要方法。化归方法是我们处理数学问题的一种基本思路，具有很强的思维导向功能。数形结合方法则反映了数学各科之间的内部联系和统一性，体现人们对数学的总体认识。 逻辑型思想方法，包括演绎法、分类法、完全归纳法、不完全归纳法、观察法、类比法等，这类方法都具有确定的逻辑结构。例如，演绎法具有严格的逻辑表达结构。 操作技巧型思想方法，包括比较法、公式法、特殊化方法、构造法、变换法等方法，这类方法常常用于具体解题，具有一定的操作步骤。 深入地分析这些方法，我们可以发现：方法本身具有层次性。例如：比较法又有比差法和比商法等；反证法有归谬法和穷举法；构造法有构造算式法、构造函数法、构造图形法等；变换法有代数变换法、几何变换法、三角变换法等，而几何变换法又有合同变换法、相似变换法、仿射变换法、射影变换法等。方法在应用上具有综合性。例如，在进行因式分解时，往往需要提取公因式法、十字相乘法、公式法、拆补项法等同时应用； 在应用分析和综合法时，又往往需要研究其它几种方法。方法往往具有各自不同的适用性。例如，分析法、综合法、联想法、转化法等可适用于一切问题的研究；而割补法、面积法、体积法等仅适用于某些几何问题的研究；待定系数法、消去法、代入法、配方法等常适用于某些数或式的研究等。方法本身也在不断完善之中，具有发展性。例如复数法、构造法、三角法等就是近一、二十年来，有的甚至是近年来才完善发展起来的。随着数学的发展，人们对数学方法的认识必将进一步提高。 ( 一) 抽象和概括 抽象，是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合，要经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，排除那些无关的或非本质的次要因素，抽取出研究对象的重要特征、本质因素、普遍规律与因果关系加以认识，从而为解答问题提供某种科学依据或一般原理。 于是，就将图1抽象成图2，并且将原来提出的实际问题，抽象成能否一笔画出图2的问题。欧拉研究了一笔画的更一般问题，认为，一个连通图如果可以一笔画成，则除了起点和终点外，其余点处的连线总是一进一出成双成对的，必有偶数条 ,这样的点称为偶点 ,而七桥问题的点都不是偶点，所以不能实现一笔画，也就是不能实现每个桥只走一次而回到原点想法。欧拉运用了数学抽象的方法，成功地解决了这个问题，并由此产生了数学一个新的分支----图论。 2.概括，即把抽象出来的若干事物的共同属性归纳出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式，是一种由个别到一般的思维方法。概括是以抽象为基础，抽象度愈高，则概括性愈强，高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。 从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法，都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。 例：在同一直角坐标系中作出函数：；；；的图形，讨论指数函数的一般性质。 ( 二) 化归方法 数学中充满矛盾，对立面无不在一定条件下互相转化。已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题向简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。化归，即转化与归结的意思，把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，归结为已熟悉的规范性问题或已解决过的问题，从而求得问题的解决。 化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。而实现这种化归，就是将问题不断的变换形式，通过不同的途径实现化归，这就是化归方法，具体的化归方法有多种，如恒等变换、解析法、复数法、三角法、变量替换、数形结合、几何变换等。 例如中学数学教材里对于一元一次方程和一元二次方程，已经有了固定的求解方法、步骤和求根公式，因此，求解一元一次方程和一元二次方程