微分方程的稳定性模型.ppt

模型假设 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。 模型 乙为甲提供食物是甲消耗的?1 倍 甲为乙提供食物是乙消耗的?2 倍 种群依存模型的平衡点及稳定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡点 稳定条件 不稳定 平衡点 平衡点P2稳定性的相轨线 0 ?11, ?21, ?1?21 P2稳定 ?1?21 ~ ?21 前提下P2存在的必要条件 结果解释 ?21 ~ 甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的 ?2 倍 ?11 ~ ?21, ?1?21 的需要，且?1必须足够小，才能在?21条件下使?1?21 成立 P2稳定条件：?11, ?21, ?1?21 甲可以独自生存 乙不能独立生存 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。下面，我们将研究几个与稳定性有关的问题。 稳定性模型的特点 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 目 录 6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食 6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 背景 资源分为再生资源（林业、渔业等）和非再生资源（矿业等）。 考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。 希望建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大？ 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 实际问题 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量 实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。 一阶常微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点(或奇点)。它也是方程(1)的解. 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 一阶微分非线性方程 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 由于 讨论方程(1)的稳定性时，可用 来代替.即 (1)的近似线性方程 易知 x0也是方程(2)的平衡点. (2)的通解为 关于x0是否稳定有以下结论： 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 平衡点分别对应微分方程的两个特殊解。 产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0 6.2 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军