人大版微积分第三版课件习题课第8章汇编.ppt

导数与微分 习题课 一、 基本概念 例1. 已知 二、多元函数微分法 练习题 解答提示: 例4. 设 三、多元函数微学的应用 1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 1 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有连续的一阶偏导数 , 及 分别由下两式确定 求 又函数 答案: ( 2001考研 ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值 驻点 极值点 注意： 取得极值的条件 (充分条件) 某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且 令 则: 条件极值拉格朗日乘数法 求解方程组 例5. 求函数 的极值 解： 设 为抛物面 上任一点， 则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉氏函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面 例6. 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离. 解： 设 为抛物面 上任一点， 则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉氏函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 , 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 测 验 题 * 主要内容 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极限运算 多元连续函 数的性质 多元函数概念 全微分 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 方向导数 全微分 概念 偏导数 概念 微分法在 几何上的应用 多元函数 的极值 二元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （4）二重极限的几何意义： ?? 0，?P0 的去心? 邻域 o U(P0, ? )。 在 o U(P0, ? ) 内，函数 的图形总在平面 及 之间。 确定极限不存在的方法： 二元函数的连续性 定义 定义′ 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 偏导数的定义 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 注意： 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 混合偏导 高阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ( 注意：混合偏导数相等的条件) 全微分的定义 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微分 函数连续 偏导数连续 偏导数存在 --全微分形式不变性 u v 1、z x 型 复合函数求导法则 以上公式中的导数 称为全导数. 特殊地 其中 2、z u v x y 型 隐函数的求导法则 多元函数的极值 驻点 极值点 注意： 取得极值的条件 (充分条件) 某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且 令 则: 条件极值拉格朗日乘数法 求解方程组 第六章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数学 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出 的表达式. 解法1 令 即 解法2 以下与解法1 相同. 则 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u v