一阶导数形式不变性.pdf

VoI_l3，NO．5 高等数学研究 Sept．，2010 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS 39 一 阶导数形式不变性 高明海 (滨州医学院卫生管理 学院。山东烟 台，264003) 摘 要 针对数学教材 中由导数基本公式到复合函数求导法则过渡形式不一致现象，提出一阶导数 的一致形 式 、修订复合函数求导法则 、给 出导数基本公式 的一般形式 ． 关键词 导数 的一致形式 ；基本公式 ；复合 函数求导法则 中图分类号 O172．1；O13；G642 l 问题提出 解 对方程两边 同时求关于 z导数 ， 导数基本公式是微积分学中重要基础部分 ，科学 (zY 一e+e)一 l， 理解基本公式形式及其与复合 函数求导法则 的逻辑 (z。)vs+z。(Y。)一 (e)-I-(e)一 1， (3) 关系对后继内容学习具有举足轻重的作用，尤其对于 2 。+3x。y2． ～e+ey． 一0， (4) 隐函数．在 目前所使用教材 中，由导数基本公式到复 2xy —ez+ (2xzvz+e)yl一 0， 合函数求导法则过渡形式存在不一致现象 ，即导数基 解得 本公式形式与复合 函数求导法则的表现形式 区别大 ， e一2z s 或缺乏连接形式 ，这种现象在一定程度上导致学生理 。 3x‘+e 解公式法则困难、逻辑思维不严谨．有鉴于此 ，笔者提 在解题过程中经常存在丢掉 的现象，如常错 出一阶导数形式不变性概念、修订复合 函数求导法 误地把 (4)写成 则、给出导数基本公式的一般形式． 2xy +3xY3，一e+e 0． 在 “数学分析”、“高等数学’’相关教材[1—7]的编 此现象对于学习 “高等数学”或 “医用高等数学” 写或修订过程 中，导数基本公式形式一直没有变化或 公共课的学生来说更是普遍．从 (3)到 (4)学生不知 补充说明．如导数基本公式 所以然 ，其主观原因在于学生不能把导数基本公式与 (z)一pxz-1， (ez)： ez． (1) 复合函数求导法则联系起来使用 ，客观原因主要是教 复合函数求导法则的形式一般可总结为： 材中缺乏基本公式(1)与复合 函数求导法则(2)的连 定理 1 如果 函数Y：厂()在U点可导 ，而函数 接形式 ，如基本公式 (1)中没有 出现 z ，以至于部分 “一 (z)在z点可导 ，那么复合函数Y一 厂((z))在 学生不能综合使用基本公式与复合求导法则，从而出 z点可导 ，且有关系式 现如上错误．从学习角度讲，这种现象会强化数学内 v一 v： ， 容的抽象性 ，影响或降低学生学习数学的积极性和兴 = ()． (z)， ， 趣 ；从能力培养角度看 ，过渡形式不一致现象使学生 d、， d d 思维逻辑思维能力培养速度得不到有效提高．教材作 dz d“ ‘ 为重要学习材料 ，对学生学习影响力不可忽视 ．因此 ， 教材中对基本公式和法则有详略得当的独立描 修订或补充说明导数基本公式形式具有重要意义． 述 ，但公式与法则之间缺乏形式上 的联系 ，这种缺乏 2 一阶导数形式不变性 导致学生解题格式错误或步骤不完整、相邻两步因果