二阶线性递推数列的研究.pdf

2005 年第6 期　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　　　　　　　 ·27 · 二阶线性递推数列的研究 祁　平　(苏州市教育科学研究院　215003) 　　近十几年, 数学竞赛中常有涉及二阶线 明性质2 性递推数列的问题. 国内刊物介绍二阶线性 证明　由题设得 ax 2 + bx + c = 0, 两 1 1 ( n - 2 n n - 1 n- 2 递推数列 aun + bun- 1 + cun- 2 = 0, ac ≠ 0, 边同乘以x 1 得ax 1 + bx 1 + cx 1 = 0, 同 ) ( n n- 1 n- 2 n ≥3 的文章虽然较多, 但这类文章 如[1 ], 理得 ax 2 + bx 2 + cx 2 = 0, 两式相加得 [2 ]) 均直接引入“特征方程”的概念, 读者常 aun + bun- 1 + cun- 2 = 0. 有是怎样想到引入“特征方程”来研究{un } 所以 u = x n + x n 是某个二阶线性递推 n 1 2 的通项的疑问. 本文的研究, 将回答这一问 数列 aun + bun- 1 + cun- 2 = 0 的通项公式. 题. 有了性质 2, 我们就不难知道, 在中学代 1　一阶线性递推数列的启示 数里, 这样一个简单问题: “已知: ax 2 + bx + 考虑一阶线性递推数列 aun + bun- 1 = c = 0 (a ≠0) 的两根为x , x , u = x k + x k (k 1 2 k 1 2 0, ab ≠ 0, n ≥2. = 1, 2, 3) , 求证: au 3 + bu 2 + cu 1 = 0. ”的出 不失一般性, 可以假设 a = 1. 由un = 处. 该问题只是性质 2 的一个特例. - bu = (- b) 2 u = …= (- b) n - 1u , 知 n- 1 n- 2 1 把两个性质结合起来, 就有下面的: 道一阶线性递推数列 un + bun- 1 = 0 的通项 推论 1　设 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) 的 公式是 u = (- b) n- 1u .