第8章 虚位移原理与能量法.ppt

第8章 虚位移原理 分析力学两个基本原理之一 既是分析静力学基础，也是分析动力学基础. 二、虚变形能的计算 弹性变形能 V 也可表示为各力作用点位移Δi的函数 给定虚力状态如图（f)：Fi=1,其余为零。真实状态为虚位移 势力场中，对应于第 j个广义坐标 qj的广义力等于系统势能对这一广义坐标的偏导数冠以负号。 或代入广义力表达式 得势力场中质点系平衡的充要条件 质点系在平衡位置处势能取驻定值。 例1 图示结构中，4杆及弹簧原长均为l，弹簧 刚度为k,求平衡时力F大小与?之关系。 解:取不受力时，滑块A位置为力F零势能位置；取弹簧原长l为弹性势能零位置。则图示?位置时 由 得 由 ，有 势力场问题由 求解，可避免求各虚位移关系， 更为简便。 思考:将弹簧力视为内力，用一般形式虚功方程 如何求解? 计入弹簧内力虚功， 例2 图示机构在W及弹簧约束下处于平衡，杆长L，弹簧系数为 k，原长为b。不计杆重，求平衡条件。 解：有势系统 取x轴为重力势能零点，原长位置为弹性势能零点。 2.平衡的稳定性 若质点系在某个平衡位置处受到微小扰动（微小的偏离或微小的冲击）后，每个质点只在它的平衡位置附近运动而不产生显著的偏离，则称该平衡位置是稳定的。反之，称为不稳定。 拉格朗日定理 若质点系在某个平衡位置上的势能具有极小值， 则该平衡位置是稳定的。 对于单自由度质点系 若V的不等于零的最低阶导数是偶数阶且为正，则势能V有极小值，则该平衡位置是稳定的。 （a）稳定平衡 （b）非稳定平衡 （c）随遇平衡 例1 如图所示，均质杆AB长 ，质量 ， 弹簧刚度系数 ，当杆与铅直方向夹角 时， 弹簧正好为原长,试求杆的平衡位置，并判断其稳定性。 . 取弹簧原长为零势能状态， 过B的水平面为重力势能零势面， 则任意 位置时系统势能: 由 ，有 虚功方程应用于变形体系时，内力虚功一般不为零. 一、虚功方程用于变形体的形式 即 外力虚功等于质点系的虚变形能。 这就是用于变形体的虚功方程形式。 则有 令 为变形体的虚变形能。 质点系的虚功方程可写为 8-7 虚功方程应用于变形体系统 图示变形体受约束无刚体位移，在力系 作用下，各力作用点位移为 ，在缓慢加载下，外力系 作功转化为变形体的变形能。弹性变形能V 可表示为各 外力 的函数。 则 则 2、铰链约束 3、圆轮在平面上作纯滚动 受定常理想约束的质点系，在某位置平衡的必要与充分条件是： 二. 虚位移原理 上式又称为虚功方程。 点积形式： 自然坐标形式： 直角坐标形式： 三. 虚位移原理的应用 1 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2 求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3 求平衡系统的约束外力； 4 求平衡系统的约束内力。 例1 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡. 求主动力之间的关系。 答： O A B C D P Q ? ? 例2 图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB = 1/3， 求此系统平衡时主动力P 和Q 间的关系。 答： 例3 图示系统中除连接H点的两杆长度为l 外, 其余各杆长度均为 2l, 弹簧的弹性系数为k, 当未加水平力 P 时弹簧不受力，? = ?0 。 求平衡位置θ。 答： 惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力F的作用，问下部力FQ的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中 为已知角。 图示机构在W及弹簧约束下处于平衡，杆长 L，弹簧系数为 k，原长为b。不计杆重。 求平衡位置θ。 课堂练习题 例4 多跨静定梁，求支座A处的反力。 答： 螺旋压榨机的例子 几何静力学存在的缺陷： 1. 对可变系，必要非充分 2. 拆开研究，未知力多 例5 平面平衡结构. 已知力F，平面力偶矩m，AB＝L，BC＝2L，BD水平，不计杆重及摩擦。 求：（1）BD杆的内力； （2）铰链E处的水平约束力。 答： ？ ①图示为三铰拱，已知F