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1 998年9月 重庶大学学报 (自然科学版) Vol 21．№．5 第21卷第5期 Journat of Chongqtng University(Natural Science Edition) Sep．I998 ，一 7 用Riesz基函数表达的多分辨分析模型。 墨塑 亳 曹长修。 了 甲f ff ①重庆大学 动化系重庆， 。。。 @渝州大学 电系 第一作者 岁女’博士生’ 7-~7t) 摘 要 建立了用Riesz基函数表达的多分辨分析模型，在模型中研究了空间正交性条 件与完全重构条件的满足，得出了包含正交小波分析的更具普遍性的多分辨分析模型 关键词 重建；基底／小波变换；多分辨分析 中国图书资料分类法分类号 TN713 0引 言 R 蓥出熬．碹；腾’ 在Mallat定义中口]，多分辨分析的一个重要特性是“Riesz基存在性”。多分辨分析中的 一 列闭子空间可通过其中任何一个子空间内的Riesz基函数进行伸缩与平移而张成，因此， 对于整个多分辨分析，Rie~z基函数是十分关键的。 首先，它决定了多分辨分析函数子空间的类型，即其中所属信号的类型。如Riesz基函数 取为理想采样函数 曲一sin∞一 ，多分辨分析各级子空间实际上是Paley—Wiener空间， 其中信号类型为频谱有限信号 其次，多分辨分析中的尺度函数 (功及小波函数 ( 均与Riesz基函数紧密相关。二者 可由Rieaz基函数按一定方法生成，如将Rieaz基函数进行正交化处理得到一组标准正交 基 。 由此可以从Rieaz基函数着手，来分析多分辨分析的结构 1 模型描述 整个模型的建立过程如图1所示，在该过程中强调了Riesz基函数的作用，将其作为多 分辨分析模型研究的起点。由图l可知，已知 子空间的Riesz基函数r( ，只要找到 子 空间内的一个Riesz基函数 (曲，使得 0 一u ，则多分辨分析的“空间正交性”条件满 足，如果还满足完全重构性条件，则任意信号，(曲∈La(PO可在该多分辨分析塔分解并重构 而不丢失任何信息。但尺度函数P(曲与小波函数 ( 分别用上述的r(曲与r (∞进行构造， 它们不一定组成％与 内的标准正交基，这与算子P,q的选取有关。 而图1中的可逆稳定算子中，q是来源于如下的命题。 命题l 函数r( ∈vot其平移系(r 一 )I ∈ }组成 的一组基底，且r一 ( )存在， · 收文日期 1996—1,2—06 一现在重庆邮电学院工作 42 重庆大学学报 (自然科学版) 图1 用 e站基函数表达的多分辨分析建立币意图 只要P是一个可逆卷积算子，则 斗一 k)r(x— ) (1) ●∈ 的平移系{ z— )} E- )也组成 的一组基底。 命题1中r ( )是指函数r( 的采样序列r( )的反卷积序列，r ( )存在是指其满足 稳定性条件，算子P也可当作滤波器，P可逆亦是指V ( )存在。本命题是札Under在文[3] 中给出的命题的推广，其结论仅针对n阶B样条函数。有了此定理，则空间720内的一个基底可 通过一个可逆卷积算子引出另一个基底，即r(斗亦可表示为 r( 一∑ ( ) z— ) (2) hE-‘ 在多分辨分析中，若取r(斗为720中的Riesz函数， 曲为尺度函数 (神，则尺度函数可 由硒esz基函数构造。但根据小波分析理论，此时 (神也应是一组Riesz基，即满足Riesz基稳