(i)与陀螺角动量的方向.PPT

∴θ=0是平衡位置 ←对长直棒端点 作业 P160 21, 22, 23 26, 27 * * §5.6 刚体的定点运动 刚体上，或与刚体刚性联结 刚体的定点运动实际上是围绕定点的转动 由于转轴随时间改变，比定轴转动复杂得多 （一）基本方程 三个自由度：欧拉角 1. 角动量定理 其三个分量方程原则上可以求解刚体定点转动问题。 最适宜的坐标系：取定点为坐标原点，惯量主轴为坐标轴，从而使惯量矩阵对角化； 坐标系与刚体关联转动(不一定一体)，从而保证惯量矩阵不随时间变化。 活动坐标系Oxyz的转动角速度 因此，角动量定理表示为： 注意： 刚体绕瞬时轴转动的角速度 坐标系/轴绕瞬时轴转动的角速度 2. 质心定理 ——可用于求固定点对刚体的约束力 3. 机械能守恒 保守外力作功→机械能守恒 采用惯量主轴为坐标轴→ 不独立于角动量定理之外，可代替其任意标量方程 应用： 角动量 →角动量定理的三个 分量方程是关于欧拉角的二阶非线性微分方程，数学上严格求解有很大困难。至今能够求解的主要是以下三种特殊情况： (1) 欧拉—班锁情形 作用于刚体的外力通过定点，合外力矩为零 (2) 拉格朗日—泊松情形 刚体对定点的三个主转动惯量存在关系： 刚体的重心位于动力对称轴上，但不与固定点重合 如：对称重陀螺的定点运动 (3) 科瓦列夫斯卡娅情形 某些形状特别的陀螺的定点运动属于这一情形 刚体的重心位于x、y两惯量主轴决定的平面内 如：地球的自转 （二）坐标系完全跟随刚体转动时的角动量定理——欧拉方程 地球的自转——情形(1)，M=0 —— 三坐标轴为惯量主轴 (5.37) (5.39) (5.44) —— 欧拉动力学方程 应用： 典型问题——地球的自转问题 地球：扁平的旋转椭球，绕质心(几何中心)作定点转动 力矩：忽略太阳、月球等星体作用的微小力矩（认为作用力通 过质心），则M=0 坐标系：原点O——质心(定点)； z轴——地轴(旋转对称轴) 惯量矩阵：x,y,z轴都是惯量主轴, 称为横向转动惯量 欧拉方程： (5.44) (5.45) 1. 地球自转的角速度 由初始条件决定 (5.49) ——以角速度n绕z轴转动的单位矢量 讨论： ——地球自转的角速度 (5.46) (1) 在活动坐标系(地球)上观察， 是大小恒定( )， 并以角速度n绕地轴转动的旋转矢量。 (2) 地球自转的瞬时轴( 方向)并不固定 于地球,而是以角速度n绕地轴转动。 天文地轴 z方向(对称轴)：地理地轴 (3) 纬度变迁 地球绕地理地轴转动(定点转动的z分量)的周期(地球的自转周期)为1天： 天文地轴绕地理地轴转动（?绕z轴的进动）的周期： 地理纬度 天文纬度 实际测得 ，因为地球并非严格的刚体。 由于天文地轴绕地理地轴以角速度n转动，地球上任一地点相对于天文地轴的纬度(天文纬度，与相应垂直平面间的夹角)会出现周期性(T)的变化。这种现象在天文学上叫做纬度变迁。 2. 地球自转的角速度与角动量的关系 将L方向(不变)取为固定坐标轴的方向( )，则： 如图：L,ω, k始终在同一平面内，ω, k分列L两侧，并绕L转动。 一般地，确定地球任意时刻位置的原则方法—— 将角速度的欧拉角表示： (5.4) (5.48) 代入： 对t积分→ 实际上，严格求解颇为繁难，需要采用一些特殊方法。 3. 任意时刻地球的位置 （三）不随刚体自旋的活动坐标系——对称重陀螺的定点运动 情形(2) ：拉格朗日—泊松情形 活动坐标系Oxyz： 固定坐标系： z轴：陀螺的对称轴，惯量主轴 y轴：在zζ平面内，与z分居ζ两侧 x轴： 在ξη平面内，是xy平面与 ξη平面的交线 与图5.4比较，相当于Ox轴与ON重合，即活动坐标系Oxyz不随刚体自旋。 欧拉角： 确定z轴的方位 章动 进动 惯量张量： z轴：对称轴 x,y轴：对称面的法线 惯量主轴 陀螺的旋转对称性→ 刚体定点转动的角速度： 章动 进动 自旋 即： 与一般式： 比较，形式简单，可见采用不随刚体自旋的坐标系对求解有利。 (5.4) 活动坐标系Oxyz的角速度： 陀螺的角动量： 设陀螺重心C离定点O的距离为l，则重力矩为： 由角动量定理得： (5.52a) (5.52b) (5.52c) (5.53b) (5.53a) (5.52a)??