21 应力、应变及弹性形变.PPT

* 真实应变=? dL/L=ln(L/Lo) L1 Lo P S Lo L So 伸长 1. 正应力和正应变 正应变? ：单位长度的伸长。 （L－Lo)/Lo=?（名义应变） 2.1.1 基本概念 正应力? ：作用于单位面积上的力。P/So=?（公称应力或名义应力） 真实应力=P/S 2.1 应力、应变及弹性形变 2. 剪切应力和剪切应变 负荷作用在面积为S的ABCD面上， 剪切应力：?=P/S; 剪切应变：?=U/L=tg???. 正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的畸变，并使材料发生转动。 P A B C D E A? B? U L F ? x y z ?zx ?xy ?yy ?xx ?zz ?yz ?zy ?yx ?xz 应力分量 S 围绕材料内部一点P，取一体积单元 2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体 1. 应力 说明： 下脚标的意义： 每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标： 第一个字母表示应力作用面的法线方向； 第二个字母表示应力的作用方向。 方向的规定 正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力为负。 剪应力的正负号规定： 正剪应力 负剪应力 应力间存在以下关系： 根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的法向应力大小相等，方向相反； 剪应力作用在物体上的总力矩等于零。 应力张量 ?xy ?zx ?yz ?zz ?yy ?xx T6 T5 T4 T3 T2 T1 结论：一点的应力状态有六个分量决定 体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正； 如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪应力指向坐标轴的正方向者为负。 2. 应变 dx dy B C A C ? B? A? (?v/?y)dy (?v/?x)dx (?u/?x)dx (?u/?y)dy ? ? x y 0 XY面上的剪应变 ?xy ?yx 已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w 应变为：u/x ， 用偏微分表示 ： ?u/ ?x 在O点 处沿x方向的正应变是： ?xx = ?u/?x 同理： ?yy= ?v/?y ?zz= ?w/?z. u x O A ?x A′ O′ ?u （1）正应变 A点在x方向的位移是：u+(?u/?x)dx， OA的长度增加(?u/?x)dx. O点在 y方向的应变： ?v/?x, A点在y方向的位移v +(?v/?x)dx, A点在y方向相对O点的位移为： (?v/?x)dx, 同理：B点在x方向相对O点的位移为： (?u/?y)dy （2）剪切应变 线段OA及OB之间的夹角变化 OA与OA?间的夹角? =(?v/?x)dx/dx= ?v/?x OB与OB?间的夹角?= (?u/?y)dy/dy=?u/?y 线段OA及OB之间的夹角减少了?v/?x +?u/?y， xz平面的剪应变为: ?xy= ?v/?x +?u/?y （?xy与?yx) 同理可以得出其他两个剪切应变： ?yz= ?v/?z+?w/?y ?zx= ?w/?x +?u/?z 结论： 一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即三个剪应变分量及三个正应变分量。 （1）各向同性体的虎克定律 ?x L ?L b c c? b? ?x z x y 长方体在轴向的相对伸长为：?x=?x/E 应力与应变之间为线性关系，E------弹性模量， 对各向同性体，弹性模量为一常数。 2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变的关系） 当长方体伸长时，横向收缩： ?y=－?c/c ?z= －? b/b 横向变形系数（泊松比）：?=| ?y / ?x| =| ?z / ?x | 则 ?y =－ ? ?x= －? ?x/E ?z= －? ?x/E 如果长方体在?x ?y ?z的正应力作用下，虎克定律表示为： ?x=?x/E－? ?y/E －? ?z/E= [?x－? （?y＋? z ）] /E ?y=?y/E－? ?x/E －? ?y/E= [?y－? （?x＋? z ）] /E ?z=?z/E－? ?x/E －? ?y/E= [?z－? （?x＋? y ）] /E 对于剪切应变，则有如下虎克定律： ?xy=?xy/G ?yz=?yz/G