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25 毕氏数与费马方程式
25 畢氏數與費馬方程式
25.1 畢氏數
若正整數 互質且 剛 好構成一個直角三角形的三邊邊長,即c2 a2 b2 ,則稱
a,b, c a,b, c
是一組『畢氏數』。也就是說,邊長是正整數且互質之直角三角形的三邊邊長恰
(a,b, c)
是一組畢氏數。有關畢氏數最有名的結果莫過於克羅內克在 1901 年證明的底下這個定
理:
2 2 2
定理25.1(克羅內克定理 ) 方程式 的互質正整數解(即 的正整數解
x y z (x, y, z) 1
x, y ,z )或者說任何的畢氏數(x, y, z) 均可表為
2 2 x 2mn,
x m n ,
2 2
y 2mn, 或 y m n ,
2 2 2 2
z m n , z m n ,
x x
其中 為互質的正整數且一為奇數,一為偶數;而且 與 至少有一個為3的倍數,
m,n y
與 至少有一個為4的倍數, 與 至少有一個為5的倍數。
y x , y z
2 2 2
【証明】首先令 是方程式 的一組互質正整數解,由此方程式可以推得
x, y, z x y z
其實是兩兩互質的。若 都是偶數,則 必為偶數,這與假設不符。如果 都
x, y, z x , y z x , y
是奇數,則 為偶數,此與z2 x2 y2 2 mod 4 矛盾。所以 必須一個為奇數,一
z x, y
個為偶數。為了方便,不妨設 為偶數, 為奇數(注意: 兩兩互質)。
y x ,z x, y, z
首先證明: (z x,z x) 2 :
令 則
(z x,z x) d
d ∣z x,d ∣z x d ∣2x,d ∣2z d ∣2 d 1或 2.
z x,z x
因為 都是偶數,所以 d 2 。現在由
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