4 卷积的时移特性若f(t) = f 1.PPTVIP

第 * 页 ■ ▲ 第 * 页 ■ 卷积积分的性质 卷积代数运算 与冲激函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质 卷积的时移特性 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 一、卷积代数运算 1．交换律 2．分配律 3．结合律 系统并联运算 系统级联运算 证明交换律 卷积结果与交换两函数的次序无关。 一般选比较简单函数进行反转和平移。 系统并联 系统并联，框图表示： 结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。 系统级联 系统级联，框图表示： 结论：1.子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 2.子系统级联时，可以交换子系统响应次序。 二、与冲激函数或阶跃函数的卷积 1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证： f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证： f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*u(t) u(t) *u(t) = tu(t) 4. 卷积的时移特性 若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) * 证明见笔记 * f(t-t0) ≠ f1(t-t0)* f2(t-t0) ∴ u(t-t0) *u(t-t0) = (t-2t0)u(t-2t0) u(t) *u(t) = tu(t) 卷积时移性质例2 例2：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2u (t) –2u (t –1) f2(t) = u(t+1) –u (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 u(t)* u (t+1) –2 u (t)* u (t –1) –2u (t –1)* u (t+1) +2u (t –1)* u (t –1) 由于u (t)* u (t) = tu (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) u (t+1) - 2 (t –1) u (t –1) –2 tu (t) +2 (t –2) u (t –2) 三、卷积的微积分性质 1. 证：上式= δ(1)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(1)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 2. 证：上式=u(t) *[f1(t)* f2(t)] = [u(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) =f2(– ∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) 卷积微分性质例1 例1：f1(t) 如图, f2(t) = e–tu(t)，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) f1’(t) =δ (t) –δ (t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)u(t) – [1- e–(t-2)]u(t-2) 注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e–tu(t)，套用 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) = 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的。 卷积和的性质总结 求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 第 * 页 ■ ▲ 第 * 页 ■