62 电子自旋算符和自旋函数 - Oriyao.PPTVIP

6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 6.2 电子自旋算符和自旋函数 * * 自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符 满足的对易关系是： （6.2.1） 在量子力学中，不要误以为角动量就是 ， 只是轨道角动量，是角动量的一种。凡满足（6.2.1）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足： （6.2.2） 由于自旋 在空间中任意方向的投影只能取 两个值。因此，任意选定 坐标系后， 三个算符的本征值都是 ， 的值都是 即 （6.2.4） 写成分量形式： （6.2.3） （6.2.5） 则 的本征值为： 若将任何角动量平方算符的本征值记为 ， 称为角动量量子数，则自旋角动量量子数 满足： （6.2.6） 所以 （6.2.7） 为方便起见，引入算符 ，令 （6.2.8） 即 （6.2.9） 则由（6.2.2）及（6.2.7）式得 （6.2.9） 写成分量形式 （6.2.10） 而 的本征值为 ，而且 （6.2.11） 定义：任意算符 和 的反对易关系为 （6.2.12） 则 同理 （6.2.13） （6.2.14） 现在来找特定表象下， 算符的矩阵形式。由于 与 对易，则在它们的共同表象中， 的矩阵必然为 （6.2.15） 这是因为 只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是 的矩阵，而且在 自身表象中，矩阵对角线上的元素就是它的本征值。 为求出 ， 在 表象中的矩阵形式，注意到 与 反对易，则 与 也只能是 矩阵。 令 （6.2.16） 由于 是厄米矩阵， 也是厄米矩阵，则 （6.2.17） 则 （6.2.18） 又由于 则 即 则 若取 ，则 （6.2.19） （6.2.20） 由对易关系得 （6.2.21） 综上所述 （6.2.22） 称为泡利矩阵。因为任何 的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和 三个矩阵的线性组合，所以泡利矩阵非常有用。 现在求电子自旋算符对应的波函数。在 表象中，由本征函数 （6.2.23） 即 （6.2.24） （6.2.25） 所以， 的本征函数为 （6.2.26） 自旋算符用矩阵表示后，自旋算符的任一波函数 也可表示为 的矩阵 （6.2.27） （6.2.28） 包含自旋在内的电子波函数可表示为 表示在 时刻，在 点周围单位体积内找到电子的几 率。其中 和 分别表示在 点周围单位体积内 找到自旋 和 的电子的几率。 电子波函数的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和，即 （6.2.29） 由 给出的几率密度为 （6.2.30） 则算符 在 态中，对自旋求平均的结果是 （6.2.31） 算符 在 态中，对坐标和自旋同时求平均的平均值为 （6.2.32） *