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7-4 反曲点有一函数)( xfy = y )( xf 若函数凹向上)( xf′ 是递增的)( xf 若
7-4 反曲點
y f x ( )
有一函數
y f (x ) y
若函數凹向上
f x( ′) 是遞增的 若函數凹向下
f x( ′) 是遞減的
f (x )
x x
凹向性的檢測法：
f ( )x′′0 x a (b ,∈) y f x ( ) ( , a)b
(1) 若 ， ，則 的圖形在 開口向下凹。
x
f ( )x′′0 x a (b ,∈) y f x ( ) ( , a)b
(2) 若 ， ，則 的圖形在 開口向上凹。
定義：
′′
f若 x( ) 之正負符號在 a 點附近變號，即可以找到δ 0
′′ ′′
f ( )x 0 x( ,a a ∈) +δ f ( )x x0 a ( a ,∈) −δ
滿足 ， 且 ，
′′ ′′
f ( )x 0 x( ,a a ∈) +δ f ( )x x0 a ( a ,∈) −δ
或 ， 且 ，
則稱 a 為f (x ) 之反曲點(inflection point) 。
由上述定義知：
f (x ) y f x ( )
(1) 若 a 為 之反曲點，則 之圖形在 a 附近由開口向上凹變為開口向
下凹，或由開口向下凹變為開口向上凹。
′′ ′′
f (x ) f a( ) f( )a 0
(2) 若 a 為 之反曲點且 存在，則 。
′′
(3) f a( )
若 a 為反曲點，但 可能不存在。
f (x )
f (x )
y y y
f (x ) 反曲點 凹向上
反曲點 凹向下
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