U变换 - 四川大学.PPT

变换编码 四川大学 计算机学院 陈 虎 huchen@scu.edu.cn 原理 为达到目的可以通过不同的路径——殊途同归 例如：数学计算机中，经常利用某些数学函数略加转换可以找出一条计算的捷径。 乘法：1000000X100000＝100000000000 运算时，数据很大，可以变成对数进行加法 基本概念 先对信号进行某种函数变换，从一种域（空间）变换到另一种域（空间），再对变换后的信号进行编码处理 以声音图像为例，由于声音图像大部分信号都是低频信号，在频域中信号较集中，因此将时域信号变换到频域，再对其进行采样、编码 变换编码 (Transform Coding) 是一种函数变换，从一个信号域变换到另一个信号域，将信源输出分解/变换为其组成部分，然后根据每个成分的特性分别进行编码，去除视频信号的空间冗余，使能量集中。 变换去除相关性示例 设有两个相邻的数据样本x1和x2，每个样本 采用3比特编码，则各有8个幅度等级，两个样本的联合事件共有64种可能用右图二维平面坐标表示 考虑到相邻样值的相关性，x1和x2同时出现相近幅度的可能性最大。 因此,合成可能性往往落在阴影区内 变换去除相关性示例 如果对数据进行正交变换，从几何上相当于坐标系旋转 45o,变成x1’、x2’坐标系，则在新坐标系下，任凭x1’在较大的范围变化，而x2’始终只在相当小的范围内变化，因此通过这样的变化就能得到一组去除大部分，甚至是全部统计相关性的另一种输出样本 变换编码过程 酉（Unitary）变换概念 正交矩阵的特点 正交矩阵的特点 每一行元素的平方和等于 1 两个不同行的对应元素乘积之和等于零 上述两条对于列也成立 例如 正交变换 正交变换 可分离的正交变换 可分离的正交变换 可分离的正交变换 快速傅里叶变换 可分离的正交变换 正交基分解 正交基分解 正交基分解 正交基分解 酉变换特性－能量保持与旋转 酉变换信号能量不变—— U 矢量长度在 N 维空间中不变 酉变换——在 N 维空间简单地旋转 U 矢量 酉变换是基坐标的旋转，V 分量是 U 在在新基坐标中的投影。 酉变换特性－能量集中与变换系数方差 酉变换特性 酉变换特性 酉变换特性--熵保持性 如果把f(x,y)看作是一个具有一定熵值的随机函数，那么变换系数g(u,v)的熵值和原来图像信号f(x,y)的熵值相等。 变换编码的选择原则 变换编码的种类 K-L变换 KLT 离散傅立叶变换 DFT 离散正弦变换 DST 离散余弦变换 DCT 哈达玛变换 Hadamard Walsh 变换 Haar 变换 Slant 变换 小波变换 Wavelet 去相关，能量集中（例如，KLT、DCT、Wavelat） 计算复杂度低 Karhunen --Loève (卡胡南-列夫) 变换 KLT 变换产生去相关的变换系数 KLT 基函数是输入信号协方差矩阵的特征向量，因此，它是以统计特性为基础的，也称为特征向量变换。 最优的正交变换：特征向量矩阵指向数据变化最大的方向，能够达到最优的能量集中。 缺点：计算过程复杂，变换速度慢。 KLT 依赖信号统计特性，但很难实时计算视频的统计特性； KLT 基函数不是固定的，是随图像内容改变的； KLT 对图象块是不可分离； 变换矩阵不能分解为稀疏矩阵。 KLT变换的基核矩阵和定义 协方差矩阵 Ru 的特征向量可以构成一个 N2×N2 的矩阵 Φ， Φ 的共轭转置 Φ*T 称 K-L 变换的核矩阵 KLT 变换的特征－去相关 KLT 变换的特征－去相关 经过 KLT 变换后，所得的变换系数 v 是一个平均向量为零的向量集，其坐标原点移到中心位置。 将 mv =0 代入 Rv 表达式： KLT 变换的特征－去相关 由于 Φ 矩阵是正交矩阵，所以 Φ ΦT = I 同时，矩阵 Ru 与其特征向量 φi 应符合以下关系 KLT 变换的特征－去相关 KLT 变换的特征－降维 忽略特征值较小的那些特征向量，从而减少 u 的维数。 令 B*T 表示删去 Φ*T 最下面的 N-M （MN) 行后得到的 M×N 矩阵，这样，变换生成的向量维数就小一些（M×1 大小），由下式生成： KLT变换举例 KLT变换举例 KLT变换举例 KLT变换举例 KLT变换举例 KLT变换举例 Fourier变换 所有实际信号都有起点和终点，时宽T在时域的作用和带宽B在频域的作用相同。对于0tT的信号，我们若希望知道信号的能量分布，须对信号做傅里叶变换，即研究其频率特性。 “频率”是我们在工程和物理学乃至日常生活中最常用的技术术语之一。截至目前我们在信号（平稳信号）的分析和处理中，当我们提到频率时，指的是Fourier变换的参数---频率f和角