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关于椭圆周长的一个完美的计算公式 SemjonAdlaj 第 1类和第2类完全椭圆积分的值可以通过 (具有相应的自变量的)超几何函数的幂 级数来表示．人们还知道第 1类完全椭圆积分也可以用算术一几何平均的手段完美地表 达，然而 (此刻之前)这样一种 (极为有力而又简洁的)表达却不适用于第2类完全椭圆 积分．从本文可以看出，对于这样一个简洁公式的探求终结了，此公式能够导致一种精 确的快速收敛迭代方法用以计算椭圆的周长． 1．代序 最近对于计算椭圆周长的 (近似的和精确的)公式的一个回顾 [16]错误地概述为： 没有简单精确的公式：有简单的公式但不精确，有精确的公式但不简单． 不再需要新的突破来驳斥这一点，因为绝大部分 (即使不是全部 !)都已经被 Gauss (高斯)在很久以前做完了，只要等待做一些 (最后的)阐明就可以了． 2．算术 一几何平均和它的一个修正 引入序列对 { ，)O0：0： xn+ y~ 一 Xn+l： —— 一 ， Yn++ll：： x／—Xn—Yn．· ：： — ， _ 定义两个正数 和Y的算术一几何平均 (我们将它简记为AGM)是 (下降)序列 { } 和 (上升)序列 {) 1的 (共同)极限，其中X0=X，Y0= ．) 我们说上述的两个序列的收敛是二次的 7【，p．588]．的确，可以很容易地推出这一点 (以及更多)．为此，令 rn：= ， n ∈N， n 十 ‰ 注意到 r + ： (糕 )2=(； )2：(三二r匠n、l／2≈譬， 其中的近似等号 ≈在这里可以理解为渐近 (由于r趋于零)相等． 接着，引入一个三元组序列 {z，Y，Zn)oo：o： xn+ yn Xn+1：： 下 ， Yn+l：= + ， “ ： 一 ． 定义两个正数 和 Y的修正的算术一几何平均 (我们将它简记为 MAGM)是 (下降)序 列 { ) l和 (上升)序列 {)oo：1的 (共同)极限，其中X0=。，Y0=Y和 Z0=0． 译自：NoticesoftheAMS，Vo1．59(2012)，No．8，P．1094-1099，AnEloquentFormulaforthe PerimeterofanEllipse，SemjonAdlaj，figurenumber3．Copyright⑥2012theAmerican MathematicalSociety．Reprintedwithpermission．Allrightsreserved．美国数学会与作者授予 译文出版许可． SemjonAdlaj是俄罗斯科学院计算中心的数学教授．他的邮箱地址是 semjonadlaj@gmail．corn． 1)我们不需要假定 0≥暑0『一 原注 30 ． 令 ：= 忆一 n， ‰ ：= Yn一 n， Pn：= ， 扎 ∈N． AGM的每次迭代需要作一次加法，一次除法，一次乘法和一次开方．MAGM 的首次迭代 和AGM 的首次迭代相同．MAGM后续的每次迭代 (比AGM 的迭代)需要多3次加法， 但MAGM 每次迭代的收敛速度 (比AGM 相应迭代的收敛速度)要快，其比值渐近地与 P 相符．这一点由 rn+ = = n+1十n+1Xn+l十Yn+1(＼、t／n十√叩／4喜pn 容易看出．迭代到最后 (就是渐近地)每次P 都加倍． 有一个例子，Gauss在 [12】中曾(精细地)考虑过，也在 [7，p．587】中被 (草草地)提 到，它展示了对于初值 z71和