平面质点几何公理系统∑的一个模型.pdf

茸 13卷第 1期 重废 币『童学 学报(自拣抖学版) I996星3 Vo]．I3 No I Journa[ofChongqinB TeachersCoLLege(NaturatScience Edition) M ar I996 7 7 平面质点几何公理系统 ∑的一个模型 、 墨 平一 (重庆师范学院数学系，重庆 ，630047) 摘 要 在通常曲直观空间中给出平面质点几何学公理系统 ∑的一一模型。 关键词 厦直 嗌 竺堡墨竺三：壁望 中图法分类号 O18 现今在初等几何、解析几何、射影几何和微分几何中部大量地使用了线性代数 (特别是 其中的向量理论)作为解决几何问题的工具，它避开了坐标的繁杂计剪而直接借助于向量 的运算解决问题，使得很多问题的讨论和表达更简捷，更清晰，史 便。不过≠F田于竹射几何 和欧 氏几何时．向量既对应于有向线段叉对应于点 (即向径的终点)，给使用带来不便。此外 还有其他一些不够理想的地方，例如在向量空间中零向量是一个特殊的向量，它所对应的点 (即原点)却是可以任意取定的，没有任何特殊性质。又如在 向量理论中十分重要的 “线性子 空间”只能对应于过原点的直线、平面等 ，而不过原点的直线、平面却不对应于任意线性空 间。在线性代数用于射影几何时，由于使用了齐次向量，使上述缺陷得 以克服，但又产生了新 的问题，如 与2对应于同一点．与 36对应于同一点，但 _- 与2一 36却对应于不同点， 造成很 多不便 为了在研究仿射几何和欧氏几何时既吸收向量理论用于射影几何的优点又避免其缺 点，莫绍揆在其专著 “质点几何学 中巧妙地吸取 了求质点系重心的思想而在线性空间中 引入了质量概念，并且令不同的向量对应于不同的点，从而解决了上面提到的各种问题。不 仅如此，由于充分发挥了向量运算的优越性 ，在很多问题的讨论中，特别是在计算容积 比时， 比其他方法简易．值得介绍和推广 。但是 由于质点几何学是在公理 系统的基础上展开 显得 抽象而难于理解和体会．特别是 “质量”作为原始概念没有定义，其实质更难理解 为此，下 面就平面质点几何学的情形介绍一下质点几何学中各个最基本的概念的直观意义，也就是 说在通常的直观空间中给出平面质点几何公理系统 的一个模型。 首先，在不列出公理系统 ∑的情况下 简要地介绍一下 决定的数学系统具有怎样的结 构。在 中，点矢及其质量是原始概念 ．通过 ∑定义出了一个三维点矢空间，它具有两重结 构 ：一是线性结构，即所有点矢构成一个实数域上的三维线性空间；一是质量结构 ，即每个点 矢P具有质量 ，且 P的质量等于P的质量乘 A，两个点矢P，口之和P十 0的质量等于P、 质量之和 。点矢又分为两类，质量为零的称为矢量，质量不为零的称为质点。 现在来阐明三维点矢空间的直观意义 ，考虑到通常空间中所有起点在同一点的向量 (即 有向线段1构成一个实数域上的三维向量空间 所 在通常空间中先选定一个 作为原 第 1期 昱小罩 ： 平面质点几何公理系统 的一个模型 75 再将 点矢解释为起点在原点的向量 ．这种 向量称为向径 ．也称为其终点的向径0j．点 P的向 径简记为 P，为了解释点矢的质量 ．我们取定一个过原点的平面 和一个不过原点且平行于 的平面 ．然后将质量为零的点矢 (即矢量)解释为 上的向径 ，如 图l中的 ；将质量为l的 点矢 (称为么质点)解释为平面 a上点的向径 ，如图 中的 ；将质量为 ^的质点解释为如下 的向径 ：它是某个终点在 “上的向径 的 倍 ，如图 中的P(=驴 )上述解释显然能满足关于 质量的要求 ，例如设 P= ^P，a一 ，其 中P，口在 上 (即 、 是么质量质点)，则 + 一 (A+ )茜，其中 = }} ，由定比分点公式的向量形式：知R是有向线段P0的定 比分点，从而在平面 a上，于是 + = (一 ) 说明 + 的质量为 ^+ 。 图 1 三维点矢空间示意图 图 2 质点几何学 中的 直线” 图 3 平面几何 中的矢量 现将上述直观解释以及其他有关基本概念