第4节 单步法 Runge-Kutta法.pdf

第1章 常微分方程初值问题数值解法 §5 单步法 Runge-Kutta法 §5 单步法 Runge-Kutta法 Euler是最简单的单步法。单步法不需要附加初值，所需的 存储量小，改变步长灵活，但线性单步法的阶最高为2。本节将 介绍非线性（关于f ）高阶单步法，重点是Runge-Kutta法。 5.1 Taylor展开法 设初值问题 ′ u f t u ( , ) u t 0 ( u) 0 的解充分光滑，将 u(t) 在t 处用Taylor公式展开： 0 h2 hp ′ ′′ ( )p p +1 (5.1) u t u t hu t u t L ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( +) u +t O h( ) + 0 0 0 0 2! p ! 其中 u( t) 0 u, 0 ′ u( t ) f( t , u( t )) f( t , u ),0 0 0 0 0 df u′′(t ) f (t , u ) +f (t , u )f (t , u ) 0 t 0 0 0 0 u 0 0 dt t t 0 d df (3) ⎡ ⎤ 2 f (t ,u ) 2f (t ,u )f (t ,u ) f (t