几种常用排列组合问题的解题方法.DOCVIP

《几类排列组合问题的处理方法》发表在《学习报》2010-2011第21期总第1130期 第2版 2010年11月19日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79 几类排列组合问题的处理方法 特级教师　王新敞 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： ⒈特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法. 例如“用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_____个”的问题中，数字0就是就是特殊元素，由于0是否在个位直接影响百位数字的安排，因此需要分成两类：①当0在个位时，十位和百位可以随意安排两个数字，有个；②当0不在个位时，个位可以安排2或4 、百位有三个数字可以安排、十位有三个数字可以安排，有个．综上共有30个偶数． ⒉插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如“7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ ”的问题，先将除甲乙之外五人排列，再将甲乙插入到包括两端位置的六个“间隙”中的两个位置上，有种排法． ⒊捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如“6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种”的问题，先将甲乙“捆绑”成一个元素，再将五个元素排列，有种不同的坐法． ⒋排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例如“四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有__种.”的问题，直接计数很困难,用间接法,从10个点中取4个有种方法,剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种数为;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有种. ⒌剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板），有种方法.例如 “某校准备参加2010年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.”的问题，等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题．将10个小球串成一串，截为8段有种截断法，对应放到8个盒子里．因此，不同的分配方案共有36种．再比如“把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种.”的问题，先给编号为2、3的两个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里．因此，不同的放球方法有1×10＝10种． ⒍错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.（特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44）．例如“编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.”的问题，选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种. ⒎容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法. 例如“将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A不排在始端,元件B不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ .”的问题，不考虑限制条件共有种排法,元件A排在始端和B排在末端各有种排法,把它们都剔除,则A排在始端同时B排在末端的总数多减了一次,需补上种.故组成不同的电路种. ⒏分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分． 例如：将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ ⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； ⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； ⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本； ⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； ⑸分成3堆，每堆