排列组合题型拓展.DOCVIP

排列组合专题之染色问题 【引例引例1．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案． 引例2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答） 分析首先栽种第1部分，有种栽种方法；然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示），此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。 剖析为了深入探讨这一题型的解法， （1）让我们首先用m（m≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形 （要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示 以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准： ①1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m1种涂法4也有m1种涂法∴ 共有 种涂法。 ②1和3涂不同种颜色，有种涂法2有m2种涂法，4也有m2种涂法，∴ 共有 种涂法。 综合①和②，共有+种涂法。 （２）下面来分析引例1 以A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准： ①A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F各有3种栽法， ∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法。 ②种栽法（是4种植物中选出2 种，是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，是 选出的2种植物排列），B、D、F共有3×2×2 种栽法（注：若A、C栽种同一种植物，则B有3 种栽法，D、F各有2种栽法）， ③A、C、E栽种3种植物，有种栽法；B、D、F各有2种栽法，∴ 共有 ×2×2×2＝192 种栽法。 综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法。（３）上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P1，P2，…，Pn，共n（n为偶数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。 （4）那么，“设一个圆分成P1，P2，…，Pn，共n（n为奇数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？ 分析对扇形P1有m种涂色方法， 扇形P2有m－1种涂色方法， 扇形P3也有m－1种涂色方法， ………… 扇形Pn也有m－1种涂色方法． 于是，共有种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n－1（n－1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。而用m种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（３）中给出了解题思路。 下面，就让我们把这种解题思路应用于引例2． 分析①首先栽种第1部分，有种栽种方法；②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示）， 对扇形2有3种栽种方法， 扇形3有2种栽种方法， 扇形4也有2种栽种方法， 扇形5也有2种栽种方法， 扇形6也有2种栽种方法． 于是，共有种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。 综合①和②，共有种栽法。 当然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即 拓展上面，我们分别就n为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P1，P2，…，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。 那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢n为不小于3的整数【分析设为符合要求的对n个扇形的涂色方法。 对扇形P1有m种涂色方法， 扇形P2有m－1种涂色方法， 扇形P3也有m－1种涂色方法， ………… 扇形Pn也有m－1种涂色方法． 于是，共有种不同的涂色方法。但是，，因为这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜