排列组合的解题常用策略研究.ppt

* 解排列组合的问题一般的思考过程如下： 元素放进位置 (1)弄清楚要做什么事. (2)怎么做才能完要做的事.(熟悉两个计数原理) 即采取分步还是分类，或分步分类同时进行。 (3)确定每一类或每一步是有序（排列）还是无序（组合）问题。元素总数多少，取多少个元素。 (4)掌握一些常用的解题策略。 常用的解题策略 （1）特殊元素，特殊位置优先处理策略 （2）相邻元素，捆绑策略 （3）不相邻元素，插空策略 （4）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略 （5）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略 （6）排列组合混合问题，先选后排策略 （7）元素相同，隔板策略 （8）多类元素，分类，分步策略 （9）平均分组，除法策略 （11）正难则反，总体淘汰策略 （10）树形图策略 （1）特殊元素，特殊位置优先处理策略 例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 第一步：排末位，共有 1，3,5三个选一个 第二步：排首位，共有 除了0和末位选择的一个数字外，剩余4个数字 第三步：排其它位置共有 其余的四个数字没限制，全排列 由分步计数原理得 策略说明： 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 1）若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素. 2）若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 3）若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 4）在同一题里，是选择元素分析，还是位置分析，可以根据题目中的特殊元素，特殊位置个数较少的来选择。 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 元素分析 位置分析 （2）相邻元素，捆绑策略 例2：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种 不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素， 同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 种不同的排法。 策略说明 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的 情形的不同种数为 20 （先思考，再看解析） 解：四抢命中，即有四枪不命中。可以把不命中的四枪排开，则有5个空隙， 3枪连在一起，看成一个元素，与另外一枪（看成另一元素），安排放进5个空隙中。 本题，既有捆绑，也有插空。 （3）不相邻元素，插空策略 例3：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能 连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 第一步排2个相声和3个独唱共有 （第一步跟顺序有关，排列问题） 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 解:分两步进行 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共 有 （第二步依旧与顺序有关，排列问题） 策略说明 元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端。 练习题1：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前 又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中， 且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ） 练习题2：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要 关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作在6盏亮灯的5个空隙中插入 3个不亮的灯有 （4）定序问题，倍缩策略，空位策略，插入策略 例4：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法。 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以 这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有 种方法。 （插入法)先排甲乙丙三个人,7个位置选择3（无序组合问题）有 ， 因为定序，共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右 身高逐渐增加，共有多少排法？ （5）允许重复的排列问题，以元素为对象，求幂策略 例5：把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步: 把第一名实习生分