现代几何选讲读书笔记光滑流形.pdf

微分流形是现代数学的重要分支，它融合和分析、拓扑、几何、代数等多种知识于一体，形 成了近代物理学、力学、工程技术、近代社会科学的重要数学基础。近代科技的发展，越来 越显示出微分流形的重要性，下面我们介绍光滑流形 第一章 光滑流形 简单来说，微分几何研究的是可以建立在光滑流形上的各种结构。第一章的任务就是总 结后面将会用到的关于各种流形的知识，这些知识以及在每一本微分几何的教科书中证明 了。 1.1 光滑流形 n n 维欧式空间是 维微分流形最简单的例子和模型，n 维 Ur 光滑模型就是 n 维欧几里得空 间 。我把 看作一组标准坐标(x1, . . . , xn).，欧几里得空间是所有其他流形的局部模型。 1.1.1 拓扑流形 N 维流形是仿紧（如果每个开覆盖都有一个局部有限开refinement，则称这个空间是 仿紧的。仿紧的豪斯多夫空间 都是正规的），豪斯多夫空间（如果空间中任两相异点都存有不相交的邻域，则称这个空间是Hausdorff (或 T2) 。Hausdorff 空间都是T1 空间.）使得每个点都有一个邻域是同胚于 的，或 中一个球的内部。这样的邻域 被叫做坐标图，从 拉回的坐标函数被叫作局部坐标。若 ， 则集合 被说成 是M 的坐标舆图。如果满足M 中的每个点p 都包含于它的开基有限集合中，那么坐标舆图 A 被成为局部有限 （空间的一组子集被称为局部有限，是指每个点都有个邻域只和有限个这组子集中的成员相交）。 两个拓扑流形 M 和 M`，如果他们之间存在一个同胚，那么他们互为同胚的。M 到M` 是连续的可逆的意义映射，那么它的逆映射也是连续的。 1.1.2 光滑流形 设U 表示一个M 坐标舆图.假设（U, ）和（U`，` ）两个U 中的元素，集合 是两个欧几里得空间的开子集之间的同胚映射，这个映射被叫作 （U, ）和（U`，` ）这 对图标中的坐标变换函数，M 上光滑的结构是由一个等价类的坐标舆图具有以下属性定义 的。它具有以下属性：所有的变换函数都是微分同胚的。这就是说，他们有所有顺序的偏导 数，它的逆也是。坐标舆图 U 和 V 被看作当量当它们满足以下条件时：给定的任意一对 （U, ）∈ U 和 （V, ）∈ V ，成分 是两个欧几里得空间的开子集之间的同胚映射映射。 接下来，一个映射具有所有顺序的偏导数的映射被认为是光滑的。具有光滑结构的流形 M 被称为光滑流形。这里的关键是我们可以在光滑流形上进行微积分了，为我我们有理由说函 数M-R 是可微或无限可微的。M 上的光滑函数的集合被记为∁∞ （M; R ）和具有以下功能的 函数，一个表示等价类中任意一个给定的坐标舆图设为 U，用它定义一个光滑流形。如果 （U,φ ）∈ U，则f○ −1是φ （U ）上的光滑结构，这一要求定义了一组相同的光滑函数不管 代表舆图是否借助于条件（*）的选择，它定义了等价关系。 1.1.3 光滑流形之间的映射 如果M 和N 是两个光滑流形，那么如果以下条件成立，映射h:M-N 称为光滑映射： 设U 表示一个给定的对于 M 的光滑结构的等价类中的局部有限的坐标舆图，V 表示一个给 定的对于N 的坐标舆图，那么集合中的每一个映射 是光滑的就像一个欧几里得空间到另一个的映射，再次注意，上文的保证由（*）中描述的 同值关系是一个光滑映射的定义仅取决于M 和N 的光滑的结构，而不是对所选择的代表坐 标舆图。 当存在一个光滑同胚映射 h:M-N，并且它的逆也是光滑的，那么称两个光滑流形是微 分同胚的。这是说，M 是同胚于 N 的并且给定的定义代表光滑结构的舆图等价类是两个一 样的。 1.2 反函数定理与隐函数定理 光滑流形的各种结构依靠微分拓扑的定理，就是反函数定理与隐函数定理。接下来陈述 这些定理，它们的证明在附录1.1 中给出。 这些定理的陈述介绍了两个欧几里得空间之间的映射的微分的概念。 定理 1.1 （反函数定理）：设 U 是 中的开集，映射FsU- 是∁ ( ≥ 1)类的 （即有 阶连 续偏导数），且rank(