道路工程数值资料.ppt

* * 一、在对单元建立平衡方程时，其原理是什么？为什么在数学方程上却是以“结点平衡方程”的形式出现？ 二、简述有限元（线弹性、位移法、等参单元）计算中的误差来源，以及提高有限元计算精度的措施与方法。 三、除了有限元方法外，还有哪些数值模拟计算方法？并请简述其原理， 四、采用有限元方法分析道路工程领域的力学问题，你认为在哪些方面还有可能取得创新性结论？ 一、变形体的虚功原理 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所做的总虚功 ，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和 。 即恒有如下虚功方程成立： 虚功原理的两种应用 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解——虚位移原理 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解——虚应力原理 为什么在数学方程上却是以“结点平衡方程”的形式出现？ 有限元在求解结构问题时，最先得到的是各个节点的位移，再通过弹性力学方程得到单元的应力和应变，得到的单元应力应变实际上是一个函数，这个函数能够描述单元内所有位置处的应力场。无疑，这样没法在软件中显示结果，因此单元解需要确定一些积分点（高斯点），通过积分得到这些积分点的解，这些积分点的解代表单元解。 积分点通常和单元的节点位置不重合，因此想要得到单元节点的解，需要将积分点的解根据某种规则外推，以一种近似的方法得到单元节点的解。由于每个单元外推得到的单元节点解并不完全一致，因此，最初外推得到的单元的节点解不连续，为了让其连续，将不同单元之间的节点外推得到的节点解进行算术平均，这样在连续节点处的节点解仅有一个数值，这样便得到实际在软件中显示的节点解。 二、误差来源 有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。每一个步骤在操作过程中都将可能引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成很大影响。 （1）物理模型的简化。主要有几何实体、环境边界条件和材料特性的简化，进而构建数学模型。同时在简化过程中引入了理想化误差，比如边界条件简化时添加集中载荷和孤立点约束，导致模型发生边界条件的奇异，即边界奇异；其它理想化误差，边界条件简化时非均匀温度场和压力场简化为均匀温度场和压力场等，也将会影响计算结果的准确度。 理想化误差是在有限元法分析开始之前引入的，因此我们不可能通过改进有限元分析技术来达到消除其的目的，而只能通过修改数学模型本身来实现消除其的目的。 （2）、数学模型的程序化，主要有几何实体的单元离散、单元网格的装配连接、模型环境边界条件的添加，进而构建计算模型。 几何实体的离散，和单元类型（形状和精度）、单元尺寸以及分网方式的选择有关，不可避免地会引入离散化误差。 离散化误差，是有限元法分析本身的，因此只能通过改进有限元分析技术或者技巧来尽力消除/减小这方面的误差，比如 提高单元精度和增加网格密度减小计算方面的误差等方法。 （3）计算模型的数值化，主要是用数值计算方法（程序求解器）求解、逼近真实的解析值，因而必然存在数值化误差。数值计算方法的精度（非人为可控）越高计算结果的误差就越小，但计算的工作量也越大。实际考虑到计算精度和计算资源的利用，必然要做一个适当的统一。 （4）计算结果的分析，主要是利用数值计算结果来分析、评判，或预知真实的物理模型，由此也存在着认知误差。认知误差的消除，一方面需要真实物理试验的指导，另一方面依赖于分析人员的工程经验和认知能力。 提高精度的方法 (1).h方法 不改变各单元基函数，只通过逐步加密单元使计算结果向正确解逼近。它往往采用比较简单的单元。一般可以将误差控制在百分之五到百分之十范围内。 (2).p方法 保持网格固定部分不变，增加单元上基层函数的 阶次，从而改善计算精度。 三、其他数值模拟计算方法 （1）有限差分法 把连续的定解区域用有 限个离散点构成的网格 来代替，这些离散点称 作网格的节点;把连续定 解区域上的连续变量的 函数用在网格上定义的 离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 （2）有限容积法：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积