高等数学-第七版-教案-16-1平面点集与多元函数资料.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 推论 因此 Dn 的聚点必定属于 Dn , 最后证明 的惟一性. 若还有 则由 对上述闭域套 { Dn }, §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 则得 注 把 { Dn } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立. 定理16.3（聚点定理） 证 现用闭域套定理来证明. 有界, 故存在一个闭正方形 . 如图 16 – 8 所示, 把 D1分成四个 相同的小正方形, 有一小闭正方形含有 E 中无限多 图16 –8 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 若 为有界无限点集, 由于 E 则在其中至少 个点, 在 中至少有一 则 个聚点. 把它记为 D2. 图16 –8 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 D2 如上法分成四个更小的正方形, 其中又至少有一个小闭正方形D3含 如此下去, 得到一个闭正方形序列： 很显然, { Dn } 的边长随着 而趋于零. 有 E 的无限多个点. 定理16.3（聚点定理） 若 为有界无限点集, 在 中至少有一 则 个聚点. 推论 最后, 由区域套定理的推论, 又由 Dn 的取法, 知道 含有 E 的无限多个点, 任一有界无限点列 必存在收敛子列 ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. ) 于是由闭域套定理, 存在一点 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 这就证得了M0 是 E 的聚点. 定理16.4（有限覆盖定理） 注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将 改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 . 盖了 D 个开域 它们同样覆盖了D, 即 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 设 为一有界闭域 , 为一族开域 , 中必存在有限 它覆 证 (必要性) E 有界 有界, 由聚点定理 , 又因 的聚点亦为 E 的聚点, 而 E 是 闭集, 所以该聚点必属于 E ． 例7 设 试证 E 为有界闭集的充要条是: E 的任一无穷子集 Eq 必有聚点, 且聚点恒属 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 必有聚点. 证 (充分性) 先证 E 为有界集. 倘若 E 为无界集, 则 存在各项互异的点列 例7 设 试证 E 为有界闭集的充要条是: E 的任一无穷子集 Eq 必有聚点, 且聚点恒属 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 现把 看作 , 由条件 的聚点 (即 ) 必 属于 E, 所以 E 为闭集. 易见 这个子集无聚点, 这与已知条件相矛盾. 为此设 P0 为 E 的任一聚点, 由聚 点的等价定义, 存在各项互异的点列 使 再证 E 为闭集. 使得 定义2 设平面点集 , 若按照某对应法则 f , 一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数 z 与之对应 , 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 R 的一个映射 ), 记作 1. 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对 R 到 R 的映射是一元函数, R2 到 R 的映 射则是二元函数. §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 二元函数 应关系. D 中每 ( 或称 f 为D 到 与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称 为 f 在点 P 的函数值; 值域, 记作 为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量. 也可记作 或点函数形式 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 全体函数值的集合为 f 的 通常把 P 的坐标 x 与 y 称 在 xO