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24 晶格振动与声子
2.4 晶格振动与声子
绝热近似下,固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统:电子和核(或原子实)的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论,现在对第二个问题,即核(或原子实)子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述,对给定的电子系状态n,原子实系统经受的有效势场
,
原子实间的库伦相互作用 + 依赖于核构型的电子能
描述原子实系统运动的哈密顿方程为:
(2.4-1)
2.4.1 简谐近似和正则振动模
上述方程涉及大量粒子的运动,数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。设晶体包含N个原胞,每个原胞有υ个原子,
第n个原胞中,第α个原子的平衡位置为 ,
和分别为原胞(代表点)位置和原子在原胞中相对代表点的位置。原子相对平衡位置的瞬时位移的直角分量为 ()。
将有效势场在平衡核构型处作泰勒展开:
(2.4-2)
取常数项为零,一次项在平衡构型下恒等于零,展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形,高次项可忽略,这就是所谓的简谐近似。可以证明,由这样的简谐势场联系在一起的个粒子构成的体系的运动,可通过适当的坐标变换,变为个独立的正则坐标的一维简谐运动。每个正则坐标的简谐运动描述的是体系所有粒子的集体运动, 正则运动模式 各粒子的运动彼此间有确定的关系
对周期排布的原子体系(晶体),固体物理中给出,这种正则运动模式如下形式的格波,(2.4-3)
其中满足正交归一关系:
。 (2.4-4)
这相当于正则运动模式。 (2.4-5)和频率为的波的形式传播的格波。
格波的频率与波矢有一定的关系(后面常简记为标记。这种由确定的格波分为支(由标记),每支都有个不同波矢的格波,共有种格波。这种格波就是晶体中原子振动的正则运动模式。
一般的正则运动模式支格波分成 3支声学波(acoustic)和
支光学波(optical)。
前者是晶格振动中整个原胞的所有核或原子实同位相一起振动,后者是原胞内原子实的相对振动。按照振动方向是与波矢方向平行还是垂直,格波又分为横波(transverse)和纵波(longitudinal)。上述不同类型的正则模(格波),常用TA,TO,LA,LO来标记,其中的字母是相关英文单词的第一个字母。
局域振动模
当杂质原子替代了基质原子,上述理想晶体的振动模式受到了扰动而有所变化。不过可以想到,杂质浓度很低时,对大多数振动模式的扰动是很小的。不过这时会出现个别的局域模,在这样的模式中,离杂质原子的距离越大,那里的原子振动越弱。这种模式的振动频率也不在原先的连续谱带内。由于这种模式的局域特性,它往往与杂质的局域电子态有较强的相互作用。
2.4.2 晶格振动的量子化
原子振动(个位移)的一般情形,可以用(2.4-3)式那样的基本格波的线性叠加表示:
(为复振幅)
考虑归一化和实数化
(2.4-6)
因为位移坐标是实数,它要求和。
(
(2.4-6)这样的表示式相当于一个坐标变换,把个原子的三维振动(由个位移坐标描述)转换成个正则坐标的一维简谐运动。
每个正则坐标描述的是个原子的一种集体运动模式。
利用上述那些关系,经过一系列计算,可得用正则坐标表示的体系哈密顿量:
(2.4-7)
其中,为与共轭的正则动量。可见哈密顿量是个独立项之和。
上面已表明描述晶格振动的哈密顿量
,
包含个独立的组分,每个组分都具有典型的线谐振子哈密顿量的形式。
这与电磁辐射场的情形类似,可以用同样的方法量子化。
将正则坐标和正则动量转换为算符,它们满足对易关系
(2.4-8)
引进湮灭和产生算符
,
。 (2.4-9)
于是,哈密顿算符变为
。 (2.4-10)
【注:得到这一表达式时,利用了:
,因为两项求和都取到所有的,正好抵消】。
其每一项对应一个由()确定的模式:
一个频率为,波矢为的格波。
式中为粒子数算符,它的本征值为,
也即能量本征值为:。类似于辐射场的情形,能量量子称为声子,称为该模式中的声子数,该模式的状态可用其中的声子数表示,写成。
一个正则模中可以有任意数量的声子,也即声子是波色粒子。系统的总能量为所有模的能量之和:。
与谐振子情形和
。 (2.4-11)2.4-9)可得:
(2.4-12)
于是,原子(实)位移(2.4-6)就可以用产生和湮灭算符表示。
(2.4-13)
2.4.3 声子的热平衡
在所用的简谐近似下,各正则振动模相互独立。没有相互作用也就没有模式间的热平衡。实际上,由于势能展开式中还存在高次项(称为非谐项),
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