高量-02量子力学中的对称性资料.ppt

高等量子力学 ２００４年９月 第一章 量子力学中的对称性 ２００４年９月 §1.2　时间、空间平移坐标　　　　　——能量、动量守恒 　　　 时间平移对称—能量守恒 ●与时间无关的物理条件，对应的哈密顿 　量亦与时间无关 　　显然，在无穷小时间平移变换 　　　　下，　　　　不变 ●从状态波函数　　　在时间平移变换下 　的变化规律，导出时间平移算符 时间平移对称—能量守恒 由 得 在时间平移变换下哈密顿量的变化 　　→能量守恒 时间平移对称—能量守恒 有限大小的时间平移可通过连续地作无限 多次无穷小平移得到 空间平移对称—动量守恒 ●自由运动的例子 　　哈密顿量 　　考虑坐标系沿　方向作无穷小平移 空间平移对称—动量守恒 ●从状态波函数　　　　在空间平移变 换下的变化规律，导出空间平移算符 空间平移对称—动量守恒 ●有限大小的时间平移可认为通过连续作无限多次无穷小平移而得到 ●沿任意方向　作平移 §1.3　空间旋转对称　　　　　　　　　　——角动量守恒 　　　 空间旋转对称—角动量守恒 许多物理条件在空间旋转变换下不变 例： ●自由运动 　　 ●中心力场 空间旋转对称—角动量守恒 ● 　　　　● 空间旋转对称—角动量守恒 ●用矩阵表示 ●还可表示为 　　　　　　　　　　　—几何转动算符 空间旋转对称—角动量守恒 ●同样可证 　　　　又 　　　　→哈密顿量在旋转变换下不变 　　　　　即， ●从波函数在坐标系旋转变换下的变化规 律，可导出旋转变换算符 空间旋转对称—角动量守恒 ●利用 　　及 　可得 空间旋转对称—角动量守恒 ●通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 ●绕任意轴　转　角的转动算符为 空间旋转对称—角动量守恒 ●若 　则必有 ●若哈密顿量具有旋转对称性，就有 　　　　　　　　→角动量守恒 空间旋转对称—角动量守恒 ●关于转动算符有不同的定义，但最后得 　到同样的转动算符 ●以上讨论的波函数为标量函数，所得角 　动量（仅）与轨道角动量有关 空间旋转对称—角动量守恒 ●关于矢量函数在旋转变换下的讨论 ● 空间旋转对称—角动量守恒 ●后式代入前式 　又 ●比较得 空间旋转对称—角动量守恒 ●类似可得 ●写成矩阵形式 空间旋转对称—角动量守恒 ●其中 空间旋转对称—角动量守恒 ●改写为 再令 则 空间旋转对称—角动量守恒 ● 　　对应地，有 空间旋转对称—角动量守恒 ● 　若哈密顿量具有转动对称性，必有总角 动量守恒 空间旋转对称—角动量守恒 ●由 　知 　　→当某微观粒子的状态需要用矢量函数来描述的话，则该粒子自旋为１。 　　例：光子 §1.4　空间反演对称　　　　　　　　　　　——宇称守恒 　　　 宇称算符——定义与本征值 ●定义 ●本征问题 宇称算符——厄米性与幺正性 ●厄米性 ●幺正性 空间反演对称性——宇称守恒 ●各向同性谐振子位、库仑位等中心力场　　　　　　　在空间反演变换下不变 ●空间反演变换 　　笛卡尔坐标系下；球坐标系下 空间反演对称性——宇称守恒 中心力场中运动的粒子在空间反演变换下 ●哈密顿量的变化 ●波函数的变化 　　 §1.5　对称性与力学量完全集 　　　 空间反演对称性——宇称守恒 ●求解薛定谔方程　　　　　　　总希望 得到确定解→包含能量在内的力学量完全 集的共同本征函数 ●例：库仑场 空间反演对称性——宇称守恒 ●若只求能量算符的本征函数，则无法完 全确定（与简并性相联系） ●为得到包含能量的力学量完全集，需分 析能量算符的对称性 　　例：对弹性力场 　→　　　　构成力学量完全集 §1.5　时间反演对称性 　　　 时间反演变换概述 ●反幺正变换，不变性不导致守恒量 ●应用—核物理中的对关联理论； 　　　　固体的超导理论 ●具有时间反演不变性的情况—强、电磁 　作用 ●不具有时间反演不变性的情况 　　核物理中光学模型；弱作用 时间反演态 ●经典情况 ●量子情况——由薛定谔方程出发定义 　作代换　　　，并把两边取复数共轭 　　→ 　称　　　　　　　　　为　　　的 　　　时间反演态 时间反演态 ●　　　　　　　　是同一个薛定谔方程 　的解 　　→凡实的哈密顿算符都具有时间反演 不变性 反幺正算符—反线性算符 ●反线性算符及其性质 ●反线性算符的代数运算规则 １、与复常数相乘 ２、任意两个反线性算符　　　的和　 　　仍为反线性算符 反幺正算符—反线性算符 ●反线性算符的代数运算规则（续） ３、任意两个反线性算符　　　的乘积　 　　　　　　为线性算符 ４、逆——若　　　，且存在　使得 　　有 反幺正算符—反线性算符 ●反线性算符的代数运算规则（续） ５、厄米共轭 反幺正算符—反幺正算符