第11章曲线积分-习题课.ppt

第十章习题课--武国宁 * （一）曲线积分 第一类（对弧长） 的曲线积分 第二类（对坐标) 的曲线积分 定义 计算 联系 格林公式 * 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 (与方向有关) * 定理1 * 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 * 计算 其中L为圆周 解: 利用极坐标 , 原式 说明: 若用参数方程计算, 则 例1 二、典型例题 原式 * 例2. 计算 其中? 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 利用重心公式知 (? 的重心在原点) * （用曲线积分求面积） * P246 3(6). 其中? 由平面 y = z 截球面 提示: 因在 ? 上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 例4 计算 * 计算 其中L为上半圆周 解: 沿逆时针方向. P246 题 3(5) ; 例5 用格林公式: * 例6 已知平面区域 L为D 的边界, 试证 证: (1) 根据格林公式 ① ② 所以相等, 从而 左端相等, 即(1)成立. (2003 考研) 因①、②两式右端积分具有轮换对称性, * (2) 由①式 由轮换对称性 * 在上半平面内处处成立，所以积分I在上半平面内与路径无关. 例7 * O x y * 例8 * 利用求偏积分方法求解 Q(x,y) 也是常用的方法，大家在应用时应注意： * 证:把 例9. 设在上半平面 内函数 具有 连续偏导数, 且对任意 t 0 都有 证明 对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有 两边对t求导, 得: 则有 因此结论成立. (2006考研) * 例10 已知曲线积分 与路径无关, 其中 求由 确定的隐函数 解: 因积分与路径无关 , 故有 即 因此有