第5章插值法2.ppt

. 因此，牛顿差商插值多项式 用向前差分代替，得到牛顿向前差分插值多项式（简称 为牛顿前插公式） 其余项为 . . （5.10） 二、牛顿向后差分插值公式 附近的函数值 插值点应按 的次序排列，有 令 (即 利用差商与差分的关系，得牛顿向后差分插值公式（简称 为牛顿后插公式） 其余项为 如果要求函数表示 ，此时应用 牛顿插值公式， 位于数据表的表尾)，并 （5.11） 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 1.00000 0.99500 -0.00500 0.98007 -0.01493 -0.00993 0.95534 -0.02473 -0.00980 0.00013 0.92106 -0.03428 -0.00955 0.00025 0.00012 例7 己知 在 处的函数值，求cos0.048及cos0.35的近似值并估计误差. 表5-6 差分表 解 1） 首先构造差分表如下. 2） 用牛顿前插公式（5.10）计算cos0.048的近似值，取 ， ， ，代入上式得 误差估计为 其中 . . 3） 用牛顿后插公式（5.11）计算cos0.35的近似值，取 ， ， 用表5-6的差分，得 误差估计为 其中 ， 3、差分的定义及性质 为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式 本节主要内容: 5.3 差商与牛顿插值 1、Newton插值多项式的构造 2、差商的定义及性质 4、等距节点Newton插值公式 5.3.1 差商的概念和性质 （其中 是互异的节点）.称 为函数 关于节点 的一阶差商. 称为 关于节点 的二阶差商. . 【定义1】 已知数据 一阶差商的差商 关于节点 的k阶差商可通过在点 和在点 处的两个 阶差商来计算，即 差商的基本性质: 在互异节点 上的 阶差商可由 这个性质可用归纳法证明.这个性质也表明差商与节点的 排列次序无关，称为差商的对称性. （1） 差商与函数值的关系： 的线性组合表示，即 （2） （对称性）： （3）（差商与导数的关系）： 在 上存在，则 其中 位于包含 的最小闭区间的内部. 其值不变，即 ， 差商中任意对调节点次序， 若 关于节点 的k阶差商可通过在点 和在点 处的两个 阶差商来计算，即 差商的基本性质: 在互异节点 上的 阶差商可由 这个性质可用归纳法证明.这个性质也表明差商与节点的 排列次序无关，称为差商的对称性. （1） 差商与函数值的关系： 的线性组合表示，即 （2） （对称性）： （3）（差商与导数的关系）： 在 上存在，则 其中 位于包含 的最小闭区间的内部. 其值不变，即 ， 差商中任意对调节点次序， 若 (4) (多项式的差商) 设f(x)为n次多项式, 是x的n-1次多项式。 则其一阶差商 0 6 ? ? ? ? 1 10 4 ? ? ? 3 46 18 14/3 ? ? 4 82 36 6 1/3 ? 6 212 65 29/3 11/15 1/15 例4 己知 解 根据定义1计算各阶差商，得差商表5-3. 的函数表，求四阶差商. 表5-3 差商表 根据 个插值条件 来确定系数 令 ，就有 再令 时， 有 . 5.3.2 牛顿插值公式 设所求多项式为 ， ， 令 时， 所以有 令 ， ，有 可得， .对 取 值，则得到 的各系数.插值多项式为 ， 【注】 在 次插值多项式的基础上，增加一个节点 ,只需要再由 加上一个 次项，便得到了 这种插值方法，称为Newton插值方法. 的递推算法. ，而无须重新构造插值多项式. 利用差商定义1可得到计算 差商表5-4各列第一个数据作为系数 ，得到牛顿插值公式 （5.9） 一阶差商 二阶差商 三阶差商 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ 表5-4 递推计算差商表 一阶 二阶 0.791090 0.607024 -0.351539 例5 对于例1，用牛顿插值公式重新计算 解 1） 首先构造差商表如下. 由表可得牛顿插值公式中各系数依次为 , , . 的近似值. 表5-5 差商表 2） 用线性插值计算，求得的近似值为 用抛物