第6章拉普拉斯方程和格林函数法.ppt

* 电子科技大学物理电子学院 * 江西理工大学理学院 * 电子科技大学物理电子学院 6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 第6章 拉普拉斯方程的格林函数法 三维拉普拉斯方程 作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程， 它不能提初始条件.至于边界条件，应用得较多的 是如下两种边值问题. （1）第一边值问题 在空间 中某一区域 的边界 上给定了连续函数 ，要求这样一个函数 上与已知函数 相重合，即 ， 它在闭域 (或记作 )上连续，在 内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在 第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题， 拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题 也可以换一种说法：在区域 内找一个调和函数， 它在边界 上的值为已知. （2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面 上给出 连续函数 ，要求寻找这样一个函数 在该点的值： 它在 中是调和函数，在 上连续，在 上任一点处法向导数 存在，并且等于已知函数 第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题. 以上两个边值问题都是 区域内部求拉普拉斯方程的解. 这样的问题称为内问题. 6．2 格林公式 设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域， 在 上连续的，在 的奥-高公式 内具有一阶连续偏导数的任意函数， 则成立如下 下面来推导高斯公式的两个推论. 设函数 和 在 上具有一阶连续 偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数. 在高斯公式中令 则有 上式称为第一格林公式， 在上式中交换 位置，则得 ————第二格林公式 利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式 设 是 内某一固定点，求调和函数 在这点的值，为此，构造一个函数 通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解 为中心，以充分小的正数 为半径的球面 由于 在 内有奇异点 ,我们作一个以 在 内挖去 所包围的球域 得到区域 （如图），在 内 是连续可微的. 为调和函数 在公式(4.9)中取 取 ，并以 代替该公式中的 ，得 # 因为在 内 而在球面 上 因此 同理可得 将此两式代入(#)可得 现在令 则得 (ii)牛曼内问题有解的必要条件 设 是在以 为边界的区域 内的调和函数， 为所给的调和函数，取 ，就得到 上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取 在 由此可得牛曼内问题 有解的必要条件为函数 满足 (iii) 平均值公式 设函数 在某区域 内是调和的， 是 内任一点， 表示以 为中心，以 为半径， 且完全落在区域 内部的球面，则成立下列平均值公式 证明 将调和函数的积分表达式应用于球面 且有 (iv)拉普拉斯方程解的唯一性问题 即证 利用格林公式讨论拉普拉斯方程解的唯一性问题， 可以证明如下的结论： （1）狄利克莱问题的解是唯一确定的； （2）牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的. 以 表示定解问题的两个解，则它们的差 必是原问题满足零边界条件的解， 对于狄氏问题， 满足 （*） 对于牛曼问题， 满足 （**） 在格林第一公式中取 则得 由条件(*)或(**)得 故在 内必有 对于狄氏问题，由 6．3 格林函数 在格林第二公式中取 均为调和函数，则得 将上式与积分表达式相减得 如果能选取调和函数 使满足 于是有 令 则 称为拉普拉斯方程的格林函数.如果格林 函数一经求得，并且它在闭区域 内存在连续的一 阶偏导数，则狄氏问题 的解若存在，这个解必然能表示为 对于泊松方程的狄氏问题 而言，若存在解，这个解必可表示为 求解拉普拉斯方程或泊松方程的狄氏问题就转化为 求此区域内的格林函数. 6．4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 6.4.1 半空间的格林函数 求解： 首先找格林函数 在半空间 的 点置 单位正电荷， 并找出 关于 平面的对称点 如图： 在 点置 单位负电荷， 则它与 点的 单位正电荷所产生 上互相抵消，因此 的电位在平面 就是半空间 的格林函数. 计算 6.4.2 球域的格林函数 设有一球心在原点，半径为 的球面 在球内 连 并延长至 使 任取一点 点 称为 关于球面 的反演点