有限元-01研究.ppt

下面分析扭转变形，设剪切模量为 ，截面极惯性矩为 ，杆长 。 与1.2节中的推导相似，由扭矩扭转角关系，可以导出： (1.27) 当单元节点位移为： 节点力相应有： 将（1.22~1.25）四组方程组合起来（按节点位移、节点力顺序）我们就可求得局部坐标系中的空间杆单元的刚度矩阵： (1.28) (1.29) Step4： 坐标变换 在总体坐标系中，节点 的位移有相似排序： 在小变形条件下，局部坐标到总体坐标系的变换： (1.30) 上式为弹性力学中的坐标变换公式，将之退化为二维，可取 轴 轴重合，二轴夹角为 ，有： （1.15b) 局部坐标系下的节点位移与总体坐标系下的节点位移实质上相当于坐标轴系的变换，可直接表述为： 单元节点位移的变换关系为： (1.31) 空间结构中的单元刚度变换形式为： 为12*12方阵。 同样可以证明： 为正交矩阵， 经正交变换后仍为对称矩阵。 Step5： 整体刚度 同样地，先将单元的刚度从局部系变换到总体系，再按节点块形式组积成结构整体刚度。 步骤与1.2节平面刚架问题相似。 Step6： 建立定解 注意： 前面我们介绍了从直梁、平面、到空间杆件结构分析的矩阵位移法，但并非现在通常意义的有限元方法。 其分析方法、表达方式、流程、及一些概念都与有限元法有密切的关联（正如一开始我们提到的，可理解为最原始的有限元方法）。 采用材料力学梁理论，直接建立梁的刚度矩阵和相应的载荷—位移方程，即原始形态的有限元方程。 主要差异在于单元刚度矩阵的建立。 1.4 杆件结构的有限单元法（初级） 以平面梁单元为例，结合材料力学中的基本假定（注意不是依赖和采用材料力学结果!），讨论梁单元的刚度矩阵。 Ⅰ、对任一梁单元e，仍在局部系中讨论。 节点 的位移为： 单元的节点位移为： Ⅱ、位移函数 轴向变形u： 梁单元内的轴向变形与其弯曲、转角均无关联；由于单元内无外载荷，其轴向应变为常量： 于是，可以假定位移模式： (1.32) 矩阵形式： 横向变形（挠度）v： 由小变形，梁的转角 ；弯曲应变 ； 在节点力 作用下，梁单元内的弯曲应力（应变）沿单元长度线性变化，于是 沿单元长度变化，即 ， 可以假定位移模式： (1.33) 写成矩阵形式： 为位移模式的待定系数。 Ⅲ、转化待定系数为节点位移和坐标表示 节点坐标记为： 轴向节点位移记为： 挠度、转角记为： 节点轴向位移和坐标代入（1.32），得到： 节点挠度、转角和坐标代入（1.33），得到： 于是， 位移模式分别可表示为： 记： （1.34） 上式称为形函数，关于节点位移为未知量的单元位移模式可以记为： （1.35） 综合上述，位移模式改写为矩阵形式： （1.36） 式中， Ⅳ、用节点位移表示应变、应力 梁单元受到拉压、弯曲作用，变形后有拉压应变 ，弯曲应变 ，且随截面高度变化（设反对称变化），忽略剪切影响。 记： 则： (1.37) 称为应变矩阵 由Hooke定律，应力 ，得到： (1.38) 问题： 如何建立力载荷和位移之间的关系？ 前述假定力与位移服从弹性规律，借助于材料力学结果导出单元刚度特性； 力与位移之间的联系？ Ⅴ、由虚位移原理导出单元刚度矩阵 虚位移原理：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，当发生约束所允许的任意微小虚位移时，外力在虚位移上所作功等于弹性体内的应力在相应的虚应变上所作的功。 假定单元内存在虚位移 ，由（1.36）式，可用节点虚位移表征单元内任意节点的虚位移， （1.39a） 单元内相应有虚应变， （1.39b） 由弹性理论，梁单元内应力由于虚应变所作虚功为： (1.39c) 单元节点力记为： 为任意性，再考虑单元沿轴线作用有分布载 、节点处有集中载 ，单元外力在虚位移所作的虚功为： (1.39d) 由虚位移原理 ，从(1.39c)、(1