有限元法与程序-形函数构造研究.ppt

例1 四结点四边形单元 形函数的构造方法 例1 四结点四边形等参数单元 例2 八结点四边形等参数单元 形函数的构造方法 形函数的构造方法 例3 五结点四边形单元（过渡单元） 例3 五结点四边形单元（过渡单元） 例3 五结点四边形单元（过渡单元） 三角形高次单元的形函数 三角形高次单元的形函数可用面积坐标表示，其形函数的构造公式为： 例4 六结点三角形单元形函数 例4 六结点三角形单元形函数 例4 六结点三角形单元形函数 例5 十结点三角形单元的形函数 例6 空间二十结点六面体单元 作业：5-1 * 补充： 单元和插值形函数构造 上次课内容回顾 单元形函数 单元位移函数取决于插值函数即形函数，形函数是定义与单元内坐标的连续函数，对平面问题，形函数确定的单元位移表示为： 不难证明：形函数具备如下基本性质 1. 形函数的性质 单元形函数 形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛性要求，即满足完备性条件和协调性条件。形函数满足单元位移插值完备性的充要条件为 2. 收敛性的要求 形函数的构造方法 利用形函数在节点上的性质，利用几何方法构造；然后再用位移函数的完备性和协调性来校核。 1. 广义坐标法 2. 几何法（自然坐标法） 首先将单元位移表示为多项式，然后利用单元的几何参数和节点位移来确定多项式的待定常数，从而用单元形函数和节点位移表示位移函数。 形函数的构造方法 2. 几何法（自然坐标法） 回顾拉格朗日插值方法 构造方法：以平面问题为例，先做一组（m条）不通过节点i但通过单元其他所有节点 的不可约曲线Fk=0，然后按下式计算 求得Ni后，检验由它们构造的位移函数是否满足完备性和协调性要求。 式中ξi、ηi是结点i的局部坐标 单元 2 2 2 3 4 1 ? ? 形函数的构造方法 同理： 母单元 2 2 2 3 4 1 ? ? 做两条直线过节点2, 3, 4，但不过节点1， 式中ξi、ηi是结点i的局部坐标 母单元 2 2 2 3 4 1 ? ? 形函数的构造方法 合并表示为 完备性检验 形函数的构造方法 对节点1，做三条直线过节点2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不过节点1， 过3,4,5 过5,6,7 过2,8 则 对节点2，做三条直线过节点1, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不过节点1， 过3,4,5 过5,6,7 过7,8,1 则 同理，构造N3，N4，…，N8 完备性检验和协调性检验 过渡单元 2 2 2 3 4 1 ? ? 形函数的构造方法 5 对节点1，做三条直线过节点2, 3, 4, 5，但不过节点1， 过2,3 过4,3 过5 则 过渡单元 2 2 2 3 4 1 ? ? 形函数的构造方法 5 对节点2，做三条直线过节点1, 3, 4, 5，但不过节点2， 过1,4 过4,3 过5 则 过渡单元 2 2 2 3 4 1 ? ? 形函数的构造方法 5 对节点3，做二条直线过节点1, 2, 4, 5，但不过节点3， 过1,4 过1,2,5 则 同理 3 5 1 6 2 4 y x 对节点1，做两条直线过节点2, 3, 4, 5, 6，但不过节点1，即 同理得 因此 3 5 1 6 2 4 y x 对节点4，做两条直线过节点1, 2, 3, 5, 6，但不过节点4，即 同理得 因此 3 5 1 6 2 4 y x 协调性检验 注意到 完备性、协调性检验 十结点三角形单元 位移形函数为 形函数的构造方法 对节点1，做四个平面过除节点1外的所有节点 过2,3,6,7,13,14,18,19 过5,6,7,8,11,12,14,15 则 过3,4,7,8,10,11,19,20 过9,16,17 *