有限元教案_空间问题(2014版)研究.ppt

Vehicle intro_B rev. 2 弹性力学基本方程 3-1、空间问题域内任一区域的平衡方程 弹性力学基本方程 3-2、边界上力的平衡条件（力边界条件） 约束处理 重点了解： (a)空间单元节点的自由度； (b)对称与反对称面约束的施加（举例，作业）。 * 第五章 空间问题的有限元法 四面体单元位移插值函数 单元刚度矩阵 弹性力学基本方程 约束与载荷处理 弹性力学基本方程 1、空间问题中位移与应变 的关系——几何方程 2、空间问题应力与应变 的关系——物理方程 弹性力学基本方程 其中： 以应变分量来表示 应力分量，有： 弹性力学基本方程 写成矩阵形式有： 弹性力学基本方程 或简写为： （5-3） 全体外力在虚位移上所做的外力虚功为： 全体内力在虚应变上所做的内力虚功为： 由虚功原理知： 弹性力学基本方程 3-3、与平衡条件（平衡方程+力边界条件） 等价的虚功原理（应用于一个单元） 四结点四面体单元 单元自由度数 =节点数乘每节点位移数 =12 １．四节点四面体单元的自由度 四面体单元的位移插值函数 2．位移函数的选择 平面三角形单元及其位移函数 用四个结点的12个位移来表示12个待定系数 ，然后将系数 带入式（5-1），经整理得： （5-5） （5-6） N（i, j, m, p）称为形函数 可以证明：四节点四面体单元的位移插值函数 能够保证有限元解答的收敛性。 单元刚度矩阵 1、四面体单元的应变矩阵[B] 将单元位移插值函数带入几何方程有： 单元结点位移 应变矩阵 单元内任一点应变 2、 四面体单元的应力矩阵[S] 由物理方程知： 代入物理方程有： 单元刚度矩阵 把 （5-11） （5-12） 式（5-11）为三角形单元的单刚，式（5-12）为四面体单元的单元刚度方程。 由于[B]和[D]均为常数矩阵。故有： 三、四面体单元的单刚 与平面应力问题相似，利用虚功原理来推导四面体单元的单刚。 四面体单元的刚度矩阵 总结： 空间有限元法可以解决所有的实际问题。从原理、方法上讲，用有限元法求解空间问题与平面问题几乎无差别。应注意的是： 对空间物体进行离散时不像平面问题那么直观，很容易产生错误。 空间问题计算规模剧增。 *