有限元与数值方法-讲稿5-1变分原理简介研究.ppt

State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment Dalian University of Technology, China 有限元与数值方法第五讲5.1 变分原理与变分法 基于变分法的求解方法 多元函数的变分问题 多元函数的变分问题 如何建立变分式: 从物理概念出发 从微分方程边值问题出发如何由变分式推出欧拉方程如何利用变分式得到物理问题近似解 瑞雷法,里兹法,伽略金法,有限元法 2.虚应力原理 2.虚应力原理 2.虚应力原理 3. 最小总势能原理 基于变分原理的近似方法 4.最小余能原理 4.最小余能原理 基于变分原理的近似方法 * * * * * * * * * * * * * * * * 授课教师：刘书田 Tel Email：stliu@dlut.edu.cn 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：00—10：20 变分法是有限元列式的另一个理论基础 变分法比加权残数法有更明确的物理意义 并非所有问题都有相应的变分原理 变分法的基本概念 变分法的重要性; 微积分 微分方程和变分原理 从微观到宏观,从宏观到微观的方法论 中国学者贡献:胡海昌Hu-Washizu变分原理 大连理工大学在变分法方面的贡献 余能原理 极限分析与安定性分析的变分原理 参变量变分原理 广义变分原理和拟协调元 变分： 两个函数在同一点的函数值差 对于自变量 泛函：函数的函数 对于函数 微分： 同一函数在两点的函数值差 f(x) f(x)+δf(x) δf(x) 变分法的基本概念 一元函数： 基本概念 变分法的基本概念 一元泛函的一般形式是 变分与积分号可互换 函数在固定点的变分为零 变分法的基本概念 变分的运算 函数导数的变分等于变分的导数 计算 利用微分推导变分问题的欧拉方程 y(x) y(x)+δy(x) δy(x) 1 2 固定边界最简泛函的欧拉方程 Lagrange的泛函变分定义为 利用微分推导变分问题的欧拉方程 由分部积分 利用微分推导变分问题的欧拉方程 由 的任意性，得到欧拉方程： 注意负号！ 欧拉方程是泛函极值的必有条件，并非充分条件 对w(x,y)取变分可得 由此推出欧拉方程 固体力学中的变分原理 介绍虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能原理，广义变分原理 虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能原理等都可以用变分方法推导求得 广义变分原理可以从由变分方法推出；Lagrange乘子的物理意义 满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称为许可位移 1. 虚位移原理（虚功原理） 固体力学中的变分原理 微分方程： 在任意的虚位移上,内力虚功=外力虚功 固体力学中的变分原理 取 则 和外力(包括表面力和体力)平衡的任意应力称为许可应力； 非真实的许可应力是虚应力。 小位移假设下的真实应变与真实位移满足： 因此下式成立： 由于应力张量是对称的，并且力的边界上面力变分为零，所以有 任意的虚应力在协调位移上作的功为零 一般情况下的最小总势能 应变能： 物理方程的一种表示 W 为单位体积应变能 对于线性问题： 虚功原理: 3. 最小总势能原理 对于线性问题： 3. 最小总势能原理 例：断面积为A的直杆拉伸问题 q P 该问题微分方程为： 3. 最小总势能原理 一般地说，利用这个方法得到的位移比应力的精度要高 如果试探函数属是完备的，则随着项数的增加，得到的解趋于精确解。试探函数要完备，一定要包含反映常应变的项 由于采用近似函数得到的总势能值会高于精确解对应的总势能值，所以近似解的应变能会小于精确解的应变能，近似解通常过刚（总势能＝－应变能；应变能越大，结构越柔）,即求得的位移往往比真实位移小，但求得的应力就没有确定的结论 系统的余能包括两部分,一部分是余应变能Uc,一部分是已知位移边界条件上的外力余能Vc 最小余能原理：所有的许可应力状态中，真实应力状态使系统的余能取最小值 对非线性弹性问题，余能原理一样成立 应用最小余能原理时要求许可应力状态满足和外力（包括给定的面力和体力）平衡；真实应力状态也是一个特殊的许可应力状态 许可应力状态和真实应力状态的区别在于： 由许可应力状态和应力应变关系可以求得相应的应变，但是这些应变可能不协调；而真实应力状态相应的应变是协调的。 简单地说，最小余能原理相当于协调方程 最小余能原理可用来构造杂交单元的有限元列式 各种变分原理和基本方程的关系 瑞雷－李兹法（Rayleigh-Ritz Method） 选取