第一章1：输入-输出描述1.ppt

例：若一个线性系统满足 ，则系统必定在t0时刻松弛。事实上， 这就是t0时刻松弛的定义。 例: 考虑一个单位延迟系统 容易验证H一个线性算子。虽然可以有 但 仅是系统必定在t0时刻松弛的充分条件，而不是必要条件。 但若 则系统在t0时刻是松弛的。事实上，为了由 唯一地确定 ，必须要知道 的信息： t0 t0?1 u(t) y(t) 显然，若 未知，则 ，从而， 不能唯一地被 确定。 t0 t0?1 t0时刻是松弛系统的判断 定理1—1由下式描述的系统 在t0是松弛的，必要且只要 隐含着 证明：必要性：若系统在t0时刻是松弛的，则输出当t ?t0 时由 给出。显然， 充分性：我们要证明：若 则系统在t0时刻是松弛的。事实上，由于 其中，第一个积分表示的是在t ?t0 时，u(??, t0) 对y(t) 的贡献；第二个积分表示的是在t ?t0 时，u[t0, +?) 对y(t) 的贡献。 证完。 定理1表明，若一个系统是线性系统，为了确定其是否在t0时刻松弛，无须知道系统t0时刻以前的历史。 知在t ?t0 时，u(??, t0) 对y(t) 的贡献为零，即 下面的推论将给出判断t0松弛的一个实用条件。 则系统在t0松弛的一个充分条件是对于某个固定的正数?， 意味着 。 且 中每一个元素在 上是解析的(注1), 推论1—1 若系统脉冲响应阵 可以分解成 注：由于?只是一个固定的正数，故推论较定理1-1在工程意义上是可以操作的。 例: 考虑系统 若 利用矩阵指数的性质，G(t,?) 可分解成 这里，M(t)=eAt 是解析函数。 定理：若函数 f 在 开区间D上解析，已知 f 在D中任意小的非零区间上恒为零，则函数在D上恒为零。 （利用所谓解析开拓的方法可以证明） f (t)称为在( a,b)上是解析的，若f (t)在该区间具有任意阶的连续导数，且对于( a,b)中任一点t0，存在一个 ，使得对 中所有t， f (t) 可表示成t0处的泰劳级数: 补充：实变量解析函数 例如：多项式、指数函数、正弦函数等均是实数域上的解析函数。 注：需要注意的是实变量解析函数与复变量解析函数的区别：若f(t)是一个复变函数，只要f(t)具有一阶连续导数，则f(t)必具任意阶的连续导数，因而必定就是解析函数。但实变量解析函数则不同，即使一个实变量函数具有连续的一阶导数，其二阶导数也不一定存在，即使存在也不一定连续。 D中f(t)恒为零的区域 D1? D D f (t) 在D上解析 * 第一章 线性系统的基本概念 线性系统理论研究对象是由物理系统中抽象出的线性模型系统。系统可用框图表示： 从这个框图已可看出：系统在激励下的响应完全由系统自身的结构确定。因此，对系统的描述就成为一切控制系统分析和综合的出发点。 系统 输入 输出 考虑如下R-C电路： 根据物理定律可写出它的数学模型： 一旦掌握了数学模型，就可算得系统在任意输入下的响应。 从这个简单的例子，至少可以看出如下几点： 要设计一个性能优良的控制系统，须了解被控对象的运动规律。对于物理系统，可用数学形式表示出来，这就是数学模型； 控制系统中需要处理的物理现象往往是电、磁、光、 弹性体、流体等的运动等。这些物理量的运动规律大多可用微分方程 ( 偏微分方程）和代数方程来描述； 2. 实际的工业控制系统，由于构成复杂和未知因素的影响， 利用物理定律建模有时并不现实。 控制系统的数学描述常用的方法有： 输入/输出描述和状态空间描述。 输入/输出描述的是系统的外部特性。在工程上简便易行，得到广泛应用； 状态空间描述包括了系统的内外部特性，是 一种全面的描述方法。由于获得了系统的全 面信息，故可设计出性能良好的系统。但在许多情况下，系统的状态空间描述是困难的。 两种描述方法各有其优缺点，如何应用应视具体研究对象而定。 §1—1 系统的输入—输出描述 一、输入 / 输出描述 黑箱 输入 ui 输出 yi 系统的输入/输出描述建立在这样的基础上：不知道系统的内部结构信息，唯一可测量的量是系统的输入和输出信号