第一章第三节 古典概型—概率论与数理统计(李长青).ppt

第三节 等可能概型（古典概型） 定义4： 概率计算公式 设随机试验E满足如下条件: 试验的样本空间只有有限个样本点，即 (2) 每个样本点的发生是等可能的，即 则称试验为古典概型，也称为等可能概型。 一、等可能概型 例1 将一枚均匀硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为“恰有一次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件A2 为“至少有一次出现正面”, 求 P(A2). 解 (1) 记 H 表示出现正面, T 表示出现反面, 则样 本空间可表示为 由对称性知, Ω 中每个基本事件发生的可能性相同. 又 由此知 于是 关于排列组合的计数原理 加法原理： 设完成过程A有n种不同方式， 若第i 种方式包含 mi 种不同方法，那么 完成过程 A 一共 乘法原理： 设完成 A 需要有 n 个步骤， 第 i 个步骤又包含 mi 种不同的方法，则完成过程 A 共 （1）排列数 从 n 个元素中取出 r 个进行排列： 有放回的重复排列数： 不放回的选排列数： （2）组合数 从 n 个元素中选出 r 个的组合数： 把 n 个不同的元素分成 k 个部分，第一部分 r1 个，第二部分 r2 个，… ，第 k 部分 rk 个. 不同的分法总数为 例2 一口袋装有6个球, 其中4个白球、2个红球, 从 袋中取球两次, 每次随机地取一个. 考虑两种取球方式: (a)放回抽样, (b)不放回抽样. 试分别就上面两种情况求 (1)取到的两个球都是白球的概率; (2)取到的两个球颜色相同的概率; (3)取到的两个球中至少有一个是白球的概率. 解 先考虑有放回的情形，记 A = “ 取到的两个球都是白球” B = “ 取到的两个球都是红球” C = “ 取到的两个球中至少有一个是白球” (2) 首先 依古典概型概率计算公式有 （1） 又因为 “取到的两个球颜色相同” 从而 (3) “取到的两个球中至少有一个是白球”的对立事件是 因为 “取到的两个球没有一个是白球” 因此有 从而 不放回的情形与上述计算类似，其结果为 例3 袋中装有30个球, 其中白球27个, 红球3个.现将 球取出, 随机地放入三个盒子中,每盒10个, 求 (1) 每盒恰有一个红球的概率; (2) 3个红球放入同一个盒子的概率. 解 30个球平均分到三个盒子中，分法总数为 记 A = “每盒恰有一个红球” B = “3个红球放入同一个盒子” （1）由组合记数公式可得 所以有 （2）由组合记数公式可得 从而 例4 一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有 一张“A”的概率。 解: 设A={任取的13张牌中至少一张“A”}， 并设Ai={任取的13张牌中恰有i张“A”}，i=1, 2, 3, 4 又 换一种方法来计算这一概率： 从而 二、几何概率 定义 设Ω是一个几何体(它可以是一维、二维、三 维或者任意 n 维的)且具有有限的度量(对一维情形是区 间长度, 二维情形是面积, 三维情形是体积等). 向 Ω中投 掷一质点 M , 如果 M 在 Ω 中均匀分布,则称该随机试验 是几何型的. 注： M 在 Ω 中均匀分布指的是: 点 M 必定落于Ω 量成正比, 而与 A 的位置与形状无关. 设 A 表示“掷点落在 A 内” 的事件，那么事件 A 的 概率为 称此概率为几何概率 . 例5 (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在 预定地点会面. 先到者等候另一人, 经过时间 t (tT)后 即离去,求甲乙两人能会面的概率 (假定他们在T内任一 时刻到达预定点是等可能的) . 每一个 x 和每一个 y 便构成平面 上的一个点 ( x, y ), 它就是一个基本结果. 因此， 样本空间为 设 A 表示事件 “ 甲乙两人能够会面 ”，则 于是 例6 蒲丰(Buffon)投针问题. 平面上画有等距离为 试求针与平行线相交的概率. 解： 以M 表示落下后针的中点，x 表示 M 与最近一 a 的一些平行线，向平面上任意投一长为l(la)的针, 针与平行线相交的充要条件为 果，求得 投针试验的