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第一章第三节 古典概型—概率论与数理统计(李长青)
第三节 等可能概型(古典概型)
定义4:
概率计算公式
设随机试验E满足如下条件:
试验的样本空间只有有限个样本点,即
(2) 每个样本点的发生是等可能的,即
则称试验为古典概型,也称为等可能概型。
一、等可能概型
例1 将一枚均匀硬币抛掷三次.
(1) 设事件 A1 为“恰有一次出现正面”, 求 P(A1);
(2) 设事件A2 为“至少有一次出现正面”, 求 P(A2).
解
(1) 记 H 表示出现正面, T 表示出现反面, 则样
本空间可表示为
由对称性知, Ω 中每个基本事件发生的可能性相同.
又
由此知
于是
关于排列组合的计数原理
加法原理: 设完成过程A有n种不同方式,
若第i 种方式包含 mi 种不同方法,那么 完成过程 A 一共
乘法原理: 设完成 A 需要有 n 个步骤,
第 i 个步骤又包含 mi 种不同的方法,则完成过程 A 共
(1)排列数
从 n 个元素中取出 r 个进行排列:
有放回的重复排列数:
不放回的选排列数:
(2)组合数
从 n 个元素中选出 r 个的组合数:
把 n 个不同的元素分成 k
个部分,第一部分 r1 个,第二部分 r2 个,… ,第 k
部分 rk 个. 不同的分法总数为
例2 一口袋装有6个球, 其中4个白球、2个红球, 从
袋中取球两次, 每次随机地取一个. 考虑两种取球方式:
(a)放回抽样, (b)不放回抽样.
试分别就上面两种情况求
(1)取到的两个球都是白球的概率;
(2)取到的两个球颜色相同的概率;
(3)取到的两个球中至少有一个是白球的概率.
解
先考虑有放回的情形,记
A = “ 取到的两个球都是白球”
B = “ 取到的两个球都是红球”
C = “ 取到的两个球中至少有一个是白球”
(2) 首先
依古典概型概率计算公式有
(1)
又因为
“取到的两个球颜色相同”
从而
(3)
“取到的两个球中至少有一个是白球”的对立事件是
因为
“取到的两个球没有一个是白球”
因此有
从而
不放回的情形与上述计算类似,其结果为
例3
袋中装有30个球, 其中白球27个, 红球3个.现将
球取出, 随机地放入三个盒子中,每盒10个, 求
(1) 每盒恰有一个红球的概率;
(2) 3个红球放入同一个盒子的概率.
解
30个球平均分到三个盒子中,分法总数为
记
A = “每盒恰有一个红球”
B = “3个红球放入同一个盒子”
(1)由组合记数公式可得
所以有
(2)由组合记数公式可得
从而
例4 一副扑克牌(52张),从中任取13张,求至少有
一张“A”的概率。
解:
设A={任取的13张牌中至少一张“A”},
并设Ai={任取的13张牌中恰有i张“A”},i=1, 2, 3, 4
又
换一种方法来计算这一概率:
从而
二、几何概率
定义 设Ω是一个几何体(它可以是一维、二维、三
维或者任意 n 维的)且具有有限的度量(对一维情形是区
间长度, 二维情形是面积, 三维情形是体积等). 向 Ω中投
掷一质点 M , 如果 M 在 Ω 中均匀分布,则称该随机试验
是几何型的.
注: M 在 Ω 中均匀分布指的是: 点 M 必定落于Ω
量成正比, 而与 A 的位置与形状无关.
设 A 表示“掷点落在 A 内” 的事件,那么事件 A 的
概率为
称此概率为几何概率 .
例5 (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在
预定地点会面. 先到者等候另一人, 经过时间 t (tT)后
即离去,求甲乙两人能会面的概率 (假定他们在T内任一
时刻到达预定点是等可能的) .
每一个 x 和每一个 y 便构成平面
上的一个点 ( x, y ),
它就是一个基本结果. 因此,
样本空间为
设 A 表示事件 “ 甲乙两人能够会面 ”,则
于是
例6 蒲丰(Buffon)投针问题. 平面上画有等距离为
试求针与平行线相交的概率.
解: 以M 表示落下后针的中点,x 表示 M 与最近一
a 的一些平行线,向平面上任意投一长为l(la)的针,
针与平行线相交的充要条件为
果,求得
投针试验的
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