第三章 线性代数建模.ppt

第三章 线性代数在数学建模中的应用举例 内容提要 线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。本书是一本优秀的现代教材，给出必威体育精装版的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外，本书包含大量的练习题、习题、例题等，便于读者参考。 本书内容深入浅出，论述清晰，适合作为高等院校理工科线性代数课程的教材，还可作为相关研究人员的参考书。 第一节 基因间“距离”的表示 在ABO血型的人群之中，对各种群体的基因的频率进行了研究。假设我们用A、B、AB、O来表示这四种基因型，研究得到的数据如下表： 基因的相对频率 问题 一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，怎样来表示基因间的 ‘ ‘距离’ ’的合宜的量度。 解 有人提出利用向量代数的方法。首先用单位向量来表示每一个群体。我们取每一种频率的平方根，记为 。由于对这四种群体的每一种有 。 这意味着下列四个向量的每个都是单位向量。记 现在用两个向量的夹角来表示两个对应群体间的‘ ‘距离’ ’似乎是很合理的。 如果我们记 和 夹角为 。由 得 故 。 基因间的距离 由上表可知，最小的基因‘ ‘距离’ ’是班图人和英国人，说明这两种人群最相似；而最大的基因‘ ‘距离’ ’是爱斯基摩人和班图人，说明这两种人群差异最大。 思考题 有甲、乙、丙三名男生，他们的身高、胸围和体重的数据如下表。这三人哪两人的体型最相似？试建立数学模型说明此问题。 * * 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 合计 0.5723 0.2208 0.2069 0.0000 0.6602 0.2090 0.0612 0.0696 0.6900 0.1034 0.0866 0.1200 0.6670 0.2914 0.0000 0.0316 A B AB O 朝鲜人 f4i 英国人 f3i 班图人 f2i 爱斯基摩人 f1i 基因型 16.8 20.4 19.6 0 16.4 9.8 0 19.6 23.2 0 9.8 20.4 0 23.2 16.4 16.8 A B AB O 朝鲜人 f4i 英国人 f3i 班图人 f2i 爱斯基摩人 f1i 基因型 68 54 83 104 93 125 175 166 185 甲 乙 丙 英国人（kg） 班图人（cm） 身高（cm） 男生 第四节 动物数量按年龄段预测问题 一、问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农 场三个年龄段的动物各有多少头？ 二、问题分析与模型建立 于是我们得到递推关系式： 即： 其中 三、模型求解(MATLAB) 四、结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0~5岁的有14375头，占86.47%；6~10岁的有1375头，占8.27%；11~15岁的有875头，占5.226%。15年间动物总增长为13625头，总增长率为454.16%。 * 第八节 常染色体遗传模型 1、亲体基因遗传方式与问题 1）遗传方式 在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa型开粉红色花，而aa型的开白花。 * 又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛为棕色；基因是aa型的人，眼睛是蓝色。这里Aa和AA都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对