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世界数学难题——四色猜想 平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。 可用符号表示：K （n)，n=、4 。 四色原理简介 这是一个拓扑学问题，即找出给球面 （或平面）地图着色时所需用的不同颜色的 最小数目。着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。 1852 年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。1878 年英国数学家凯利在一次 数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。直到 1976 年，美国数学家阿佩哈尔、哈 肯和考西利用高速电子计算机运算了 1200 个小时，才证明了格思里的推测。20 世纪 80-90 年代曾邦哲的综合系统论 （结构论）观将“ 四色猜想”命题转换等价为“互邻面最 大的多面体是四面体”。四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的 美好前景。 四色定理的诞生过程 世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想) 。四色猜想的 提出来自英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到 一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用 四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即“将平 面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用 1，2 ，3 ，4 这四个数字之一 来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这个结论能不能从数学上加以严 格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使 用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852 年 10 月23 日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩 尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学 家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到 1 865 年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题， 于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四 色猜想的大会战。1878～1880 年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别 提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解 决了。 肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以 上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的” （左图）。如为正规地图，否则为非正 规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地 图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图， 那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五 色地图就足够了。 肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国 数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六 个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图 的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“ 四色问题”，但 是后来人们发现他错了。不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决 提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两 个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也 就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的， 每张地图至少含有这四种构形中的一个。 肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证 明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构 形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可 约构形的不可避免组，是证明“ 四色问题” 的重要依据。但要证明大的构形可约，需要 检查大量的细节，这是相当复杂的。 11 年后，即 1890 年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。 不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但 一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想 相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道 路。 进