函数与导数第2课时(教师版).docx

函数与导数：第二课时（教师版）例题1.导数的几何意义1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－1　　　B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1[答案]　A[解析]　k＝y′|x＝0＝(ex＋xex＋2)|x＝0＝3，∴切线方程为y＝3x－1，故选A.2.(2014·吉林市质检)若函数f(x)＝2sinx(x∈[0，π])在点P处的切线平行于函数g(x)＝2·(＋1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率(　　)A．1　　　　　　　　　　B.C.D. 2[答案]　C[解析]　f′(x)＝2cosx，x∈[0，π]，∴f′(x)∈[－2,2]，g′(x)＝＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1＝＋，∴2cosx1＝2且＋＝2，∵x1∈[0，π]，∴x1＝0，∴y1＝0，x2＝1，y2＝，∴kPQ＝＝.[方法点拨]　1.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)．2．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．3．若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f′ (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．4．(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．例2.利用导数研究函数的单调性1．已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f(x)f ′(x)对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则下面正确的是(　　)A．f(1)e·f(0)，f(2012)e2012·f(0)B．f(1)e·f(0)，f(2012)e2012·f(0)C．f(1)e·f(0)，f(2012)e2012·f(0)D．f(1)e·f(0)，f(2012)e2012·f(0)[答案]　A[解析]　设F(x)＝，则F′(x)＝＝，∵f(x)f ′(x)对于x∈R恒成立，∴F′(x)0，即F(x)在x∈R上为增函数，∴F(1)F(0)，F(2012)F(0)，即，，∴f(1)ef(0)，f(2012)e2012f(0)．[方法点拨]　1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，如果f ′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f ′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．2．利用导数研究函数的单调性的步骤．(1)找出函数f(x)的定义域；(2)求f ′(x)；(3)在定义域内解不等式f ′(x)0，f ′(x)0.3．求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f ′(x)0或f ′(x)0.4．若已知函数的单调性求参数的值或取值范围，只需转化为不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在单调区间内恒成立的问题求解，解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想．2．(2015·新课标Ⅱ理，12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)[答案]　A[解析]　考查导数的应用．记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x0时，xf′(x)－f(x)0，故当x0时，g′(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，且g(－1)＝g(1)＝0.当0x1时，g(x)0，则f(x)0；当x－1时，g(x)0，则f(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[方法点拨]　1.在研究函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等问题中，根