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第五章概率
第五章 概率
什么是概率
确定性现象:一定条件下必然发生某种结果
必然现象
沸腾
乙肝, 乙肝表面抗原一定为阳性
不可能现象
随机现象random event :一定条件下结果不定
如:掷硬币后哪面朝上?
某患者服用某降压新药后:降?不变?升
偶然性和必然性
什么是概率
概率是可能性
7:10出门,在路上堵车的可能性有多大?
衡量某一特定事件的机会或可能性的数值量度
概率的特点
概率总是从0到1之间取值
接近0的概率表明事件几乎不可能发生,而接近1的概率则表明事件几乎肯定要发生
介于0和1之间的概率则分别代表事件发生可能性的不同程度
试验 试验结果
抛掷一枚硬币 正面,反面
对某一零件进行检测 合格,不合格
拨打一次销售电话 购买,不购买
投掷一枚骰子 1,2,3,4,5,6
样本空间
所有可能的试验结果的集合
任何一个特定的试验结果都被称为样本点,它是样本空间的组成元素
举例
抛掷两枚硬币的试验
抛掷第一枚硬币的可能结果有两种(n1=2)
抛掷第二枚硬币的可能结果也有两种(n2=2)
根据计数法则,共有(n1)(n2)=2×2=4种试验结果
试验结果的概率分配
试验结果(样本点)的概率是如何决定的
试验结果的概率就是该试验结果发生可能的数字量度
两个原则:
(1)每个试验结果(样本点)的概率值都必须在0和1之间
假如以Ei表示第i种试验结果,以P(Ei)表示这种结果发生的概率,则对所有的i,必须有0≤P(Ei)≤1
(2)所有试验结果的概率数值之和必须为1
如果样本空间含有k个试验结果,则必有
抛掷硬币试验: 试验结果为正面或反面
假设这两种结果的可能性相等是十分合理的
观测到正面的概率为1/2即0.50
频率和概率
频率
N次重复试验中A事件发生的次数为n,那么事件A发生的频率
概率
当N趋向于无穷大时,事件A发生的频率趋向于一个固定值,这就是事件发生的概率P(A)
相对频数法
以多次试验的实际结果分配试验结果的概率
电话市场调查
对每一个销售电话,有两种可能的结果:顾客购买该产品或顾客不购买该产品
假设一共联系了400名潜在的顾客,结果有100人购买了该产品,而300人未购买
对于顾客购买该产品的结果,我们分配以100/400=0.25的概率。对于顾客不购买该产品的结果,我们分配以300/400=0.75的概率
练习
利用两个月的时间观察983路公交车在早上6:50~7:10时间段到达某车站的车辆数
a.事件A表示“至少有1辆车进站”,
请计算P(A)。
b.事件B表示“有3辆或以上的车
进站”,请计算P(B)。
c.恰好有2辆车进站的概率
到站
车辆数
频数
0
8
1
20
2
12
3
6
4
3
5
1
合计
50
第五章 正态分布Z分数、T分数
正态概率分布
正态分布曲线
µ-平均值
σ-标准差
正态概率分布的性质
正态概率分布有一个完整家族,每一特定正态分布通过其平均值µ、标准差σ来区分
正态曲线的最高点在平均值,它也是分布的中数和众数
分布的平均值可以是任意数值:负数、零或正数
正态概率分布的性质
正态概率分布是对称的,均值左边的线形是均值右边的线形的镜像。曲线的尾端向两个方向无限延伸,且理论上永远不会与横轴相交
标准差决定曲线的宽度。标准差值大产生较宽、较平的曲线,表明数据有更大的变异
标准分数
又称为Z分数,以标准差为单位,反映了一个原始分数在团体中所处的位置。
标准正态概率分布
具有均值为0,标准差为1的正态分布的随机变量被称为具有标准正态概率分布
字母z通常用于表示这一特殊的正态随机变量
为了得出一正态随机变量在特定区间的概率,我们必须计算曲线在那段区间的线下面积
对于标准正态分布,正态曲线下的面积已计算出来并可从表中得到,这些表可用于计算概率——正态分布概率表
正态概率分布的性质
正态概率分布曲线下的总面积是1
正态随机变量的概率由曲线下面积给出
正态分布概率表
计算任一正态概率分布的概率
所有的正态分布的概率都可通过利用标准正态分布来计算
标准正态分布变换
正态随机变量x距离其均值的标准差个数
举例
Grear轮胎公司刚刚开发了一种新的钢带子午线轮胎可行驶里程的均值=36500英里,标准差=5 000,收集的数据表明正态分布是一合理的假设,轮胎里程超过40 000英里的概率是多少?
当x=40 000时,我们有
z=0.70,查表得 0.2580
P(z≥0.70)=0.50-0.2580=0.2420
大约24.2%的轮胎将超过40 000英里的里程
举例
公司正在考虑一项售后服务:如果初始的轮胎没有超过担保中设定的里程,公司将折价更换轮胎。如果公司希望符合折价担保的轮胎不超过10%,则担保里程应为多少?
在均值和未知的担保里程间的面积必须为40%
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