理论力学-第三章刚体力学3.ppt

* * §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 一、 刚体的平动（Translation of Rigid Body） 平动的特点： 各质点的运动情况完全相同 （位移、速度、加速度、轨迹等） 可以用一个点的运动来代表整个刚体 （一般取质心） 运动学方程： 动力学方程： 注意： 例如：讨论平动汽车在刹车时受到的地面支持力。 h l l v 假设刹车后前后轮都停止转动，受力如图 f1 f2 N1 N2 G 还缺少一个方程！ 联立可解： 二、 刚体的定轴转动（Fixed-axis Rotation of Rigid Body） 定轴转动的特点： 各质点在垂直于转轴的平面内作圆周运动， 其角量相同 （角位移、角速度、角加速度等） 运动学方程： 角量和线量的关系 ω ri Ri θi 动力学方程： 取转动轴为z轴 定轴转动动能： 平动动能： θ mg x y Rx Ry 【例】一根质量为m，长为 l的匀质细杆，一端用铰链固定在桌角O点。求此杆自θ=30o处由静止转动到水平位置时的角速度、角加速度、质心加速度及约束力。 （1）由转动方程求运动规律 两边同乘 : 利用初始条件θ=30o， 可得： 即： 所以当杆转到水平时 （2）求质心加速度： 对于水平时的质心 总加速度： （3）求未知约束力：质心运动定理 与x轴负向夹角 作业：P174 （3.7） （3.8）（3.11） 平面平行运动 刚体任一点始终在平行于某固定平面的平面 内运动 §3.7 刚体的平面平行运动 一、平面平行运动运动学 平面平行运动 = 随基点平动 + 绕基点的转动 运动特点 垂直于固定平面的直线上各点的运动状态相同 刚体→薄片（一般含质心的薄片） Note: ① 基点的选取是任意的，选择不同的基点有不同的平动位移，常取质心为基点。 ②基点的选取对角量无影响。 运动学方程 刚体上任一点的速度、加速度 定系： 动系： 相对速度 牵连速度 （利用 ： ） 绝对加速度 牵连加速度 相对切向加速度 相对向心加速度 牵连 相对 1、定义：平面平行运动的刚体在角速度不为零时，在任一时刻薄片上恒有一点的瞬时速度为零，该点称为转动瞬心，记为C 二、转动瞬心 Note： (1)瞬心是转动瞬时轴在薄片上的投影点 C (2)瞬心的速度为零，加速度一般不为零 如果加速度为零，则刚体做定轴转动。 (3)瞬心不一定在刚体上，但一定在薄片所在的平面上 (4)确定时刻有确定瞬心，不同时刻瞬心不同 (5)若取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为： 对实验室坐标系 2、瞬心的确定 （1）解析法： ξ η x y A C 设C ( x , y ) 对固着刚体坐标系 设C ( x’ , y‘ ) （2）几何法： 取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为： C P 已知薄片上任意两点的速度方向，就可求瞬心 vA vB C vA vB vA vB C C vA vB 无瞬心，刚体平面平动 （3）观察法： 凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心 C 3、瞬心的轨迹 （1）空间极迹（空间瞬心迹）： 瞬心在定系中（固定平面上）形成的轨迹 （2）本体极迹（本体瞬心迹）： 瞬心在固定在刚体的动系中（截面上/薄片上）形成的轨迹 定理：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在平面运动时，本体极迹将沿着空间极迹作无滑滚动，两轨迹的公共切点就是此时的转动瞬心。 a b 【例】用瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹方程。已知B点速度为c，并设 解：用瞬心法求解，即利用瞬心速度为零的特点，取瞬心速度为基点来求任意点速度。如图所示，在空间建立一个定系O-xyz,和一个固定在刚体上的动系A－x’y’z’，设 （1）找瞬心的位置： 取C为基点，则有 （2）求M点速度 （3）求空间极迹和本体极迹 设在定系中，C点的坐标为（x，y），满足： （空间极迹是以O为圆心，a＋b为半径的圆） a b 设在固定在刚体上动系中，C点的坐标为（x’ ，y’）满足： ，半径为 的圆） （本体极迹是圆心在 （4）求M点的加速度： 取B点为基点（B点匀速，加速度为零） a b 【例2】P176习题（3.15）一轮的半径为r，以匀速v0无滑动的沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点和最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？ 解：建立如图固定地面上的坐标系 （1）用瞬心法求任意P点速度。取