理解数学本质丰盈教学智慧1507河大.ppt

* 【例4】如图4，已知，△ABC，△CDE均为等边三角形，点M，N，P分别为线段BC，AE，CD的中点.求证：△MNP为等边三角形. * 更进一步，若由例1第(Ⅲ)小题得到启发，试将图1(2)中的某个等边三角形绕点O旋转后连接AD，即可得到如图5所示的经典图形，关于该图形的问题设计自然也可以看作例1的变式. * 【例5】如图6(1)，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE=CD.(2)如图6(2)，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为 　度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明． * 【例6】如图7(1)，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN是等边三角形，易证：AN=BM. (1)将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请在图7(2)中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）. (2)在(1)得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. * (3)在(1)得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于点D，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论. * 【例7】(1)如图9(1)，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD； (2)如图9(2)，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； * (3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图9(3)，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长． * 【例8】某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 　　 操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图11(1)所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）. ①AF=AG=AB；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． 数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形， * 如图11(2)所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程. 类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图11(3)所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ． * * 有人说： 平庸的人有一条命：性命；优秀的人有两条命：性命、生命；卓越的人有三条命：性命、生命和使命.罗曼·罗兰曾说：“生命被赋予了一种责任，那就是精神的成长.”让我们用精神的成长创造使命的精彩，铸就生命的辉煌.要牢记，站在中国的土地上，你就是数学，你的素养就是中国数学的质量，你优秀，你卓越，中小学数学就一片光明.让我们共同努力，加油！ * 在我看来，你若能用分析法、综合法、求差比较法、求商比较法、反证法证明，大概可得30分；你若还能用放缩法、构造函数法、增量法证明，你就可以得50分了；你若能用定比分点法、斜率法、三角法、几何模型法证明，你就可以得到70分了；有人用正弦定理法、相似三角形法、换元法、双换元法、综合法及放缩法、定义域及值域法证明，这时他得到了90分！…… 要全面了解教科书的编写特点.问题的引入、概念的提出、公式的呈现等，都是实际问题的驱动，这是新教科书的突出特征. 理解编排意图 * * 三角概念的给出，通常是从分析抽象的直角三角形开始，其实从有趣的生活情景出发更容易让人接近，荷兰教材中是用位于新墨西哥州的美国最古老的村庄Acoma Pueblo里的建筑引入的.这种建筑没有前门，人们通过梯子直接进入二层.依墙而立的木梯子形成不同的角度，有的陡一些，有的平一些，木梯子的陡度非常重要，如果梯子放得太陡或者放得不够陡都会出现问题，这里至少有两个好方法用来测量陡度. * ①通过角度（角度越大,梯子越陡）；②通过高度