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勾股定理课件123汇编
勾股定理;一、定理的探索;试一试;; 二、定理的证明; 证明;;这个证明方法出自美国第20任总统枷菲尔德(J.A. Garfield),他在 1876 , 利用了梯形面积公式 。;定理的应用;例2、如图,一架长2.5m的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯脚B到墙底端C的距离0.7m。
(1)求AC长。
(2)如果梯子顶端沿墙下滑0.4m,那么梯脚将向外移多少米?;解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
根据勾股定理得:
AC=√AB2-BC2 =√2.52-0.72 =√5.76 = 2.4m
(2)∵A1C = 2.4-0.4 = 2m
B1C=√A1B12-A1C2 =√2.52-22
=√2.25 =1.5m
∴BB1= B1C-BC = 1.5-0.7 = 0.8m;;合作探究;合作探究; 勾股趣话;会标;宇宙探索;
1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的,也是最著名和最有用的定理。在我国,人们称它为勾股定理或商高定理;在欧洲,人们称它为毕达哥拉斯定理。
勾股定理断言:直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理,它的出现称得上是数学发展史上的里程碑,那么勾股定理称得上是最佳选择。但是,如果人们要考究这个定理的起源,则常常会感到迷惑。因为在欧洲,人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯;但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究,人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年,古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中,第一章记述了西周开国时期(约公元前1000年)商高和周公姬旦的问答。周公问商高:“天不可阶而升,地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢?商高回答:“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这样记载:周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也,正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸,正北千里,勾一尺七寸。日益表南,晷日益长。候勾六尺,即取竹,空经一寸,长八尺,捕影而观之,室正掩日,而日应空之孔。由此观之,率八十寸而得径寸,故此勾为首,以髀为股,从髀至日下六万里而髀无影,从此以上至日,则八万里。;中国古代对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢? 商高回答说:数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩得到的一条直角边‘勾等于3,另一条直角边’股等于4的时候,那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中(约在公元50至1 00年间)(右图),勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”。《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就,共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法,列为九章,可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明(右图)。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。; 在国外尤其在西方,勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理,这是由于,他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580~前500年)。 ; 铤而走“弦”;
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