运筹(第十章排队论)资料.ppt

* * 1、 稳定状态下，系统中有n个顾客的概率 各状态间概率强度的转换关系： 0 1 2 n n+1 。。。 n-1 n n+1 n-1 * * 由 及上述差分方程可解得： * * 2、系统运行指标 * * 例、某售票点有三个窗口，顾客的到达服从poisson 过程，平均到达率 ，服务时间服从负指数分布，平均服务率 。 现在假设顾客到达后排成一队，一次到空闲的窗口买票。分析下列各问题： 1、整个售票点空闲的概率； 2、平均排队长； 3、平均排队时间； 4、顾客到达后必须等待的概率。 * * 解、该问题中 s=3， 1、 2、 3、 4、 * * 四、M/M/s/ N 模型 ： 顾客相继到达时间服从参数为?的负指数分布； 服务时间服从参数为?的负指数分布； 服务台数为s； 系统的空间为有限，最多为N * * 1、 稳定状态下，系统中有n个顾客的概率 当s=N时 爱尔朗呼唤损失公式 * * 2、系统运行指标 * * * * M/M/S 等待制排队模型 多服务台问题，又表示为M/M/S/ ? ：顾客相继到达时间服从参数为?的负指数分布；服务台数为S；每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为?的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲服务台马上被进行服务，否则便排成一队列等待，等待空间为无限。 * * 队长的分布 记Pn=p{N=n},n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队长N的概率分布，对多服务台有 ?n=?； n=0,1,2…. ?n= n? n=0,1,2….s ?n= s? n=s,s+1,s+2…. * * ?s= ?/s= ?/s?, 当?s1时，有 Cn= (?/?)n n! (?/?)s s! (?/s?)n-s= (?/?)n s!sn-s n=1,2,…..s n?s pn= (p)n n! n=1,2,…..s ?n s!sn-s n ? s p0 p0 * * 其中： p0=[?0s-1pn/n!+ ?s/s!(1- ?s)]-1 当n ? s时，顾客必须等待，记 C(s, ?)= ?s?pn= ?s/s!(1- ?s) p0 称为Erlang等待公式，它给出了顾客到达系统时，需要等待的概率。 * * 平均排队长： Lq=?s?(n-s)pn = p0 ?s ?s /s!(1- ?s)2 或 Lq = C(s, ?) ?s / (1- ?s) 记系统中正在接受服务的顾客平均数s,显然s也是正在忙的服务台平均数。 S= ?0s-1npn+ s*?s?pn = ? * * 平均队长： L=平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数= Lq + ? 对多服务台，Little公式依然成立： W=L/? Wq=Lq/ ? =W-(1/?) * * * Little 公式 其中 ?是单位时间内到达的平均顾客数； ?是单位时间内可以服务完的平均顾客数。 系统中平均顾客数 = 单位时间内到达的平均顾客数×平均逗留时间 又 如果求得Pn ,则 即可得到。 另外 1-P0 是系统的忙期概率。 * * 排队论研究的基本问题： 通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及数字特征，了解系统运行的基本特征。 统计推断问题：建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中，系统是否达到平稳状态的检验；顾客相继到达时间间隔相互独立性的检验，服务时间的分布及有关参数的确定等。 * * 排队研究的基本问题： 系统优化问题：又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是使系统处于最优的或最合理的状态。包括：最优设计问题和最优运营问题。 * * §2 输入与服务时间的分布 一、最简单流 1、定义; 在时长为 t 的时间段内，有k个顾客到达的概率 服从poisson分布： t时段内平均到达顾客数； 单位时段内平均到达顾客数 * * 2、最简单流的性质 （1）平稳性：在一定时间间隔内，有k个顾客到达的概率只与时长有关，与起始时刻无关； （2）无后效性：[a,a+t]时段内有k个顾客到达的概率与a时刻之前