第8讲：外测度试卷.ppt

问题出在哪里呢？是不是外测度的定义有缺 陷？从上面的例子可以看到，整个的证明并未用到 外测度的具体构造，这就是说，只要一种关于集合 的函数（常称为集函数）具备性质1、2、3及可加 性，就不可避免地会碰到上述矛盾。而性质1、2、3与可加性又是必须具备的条件。由此可见，问 题不在于外测度的定义方法有毛病，而是碰到了一 种无法克服的困难。换句话说，总有一些集合，其 测度是不具有可加性的，既然无法克服这个困难， 最好的办法是把这些集合排除在外，只考虑那些具 第8讲 外测度 有可加性的集合。我们把前者称为不可测集，后者 称为可测集。 第8讲 外测度 三. 可测集的定义 问题6：回忆Riemann积分的存在性定理， 它启发我们应如何定义一般的可测 集？ 第8讲 外测度 如何判断一个集合是可测或不可测的呢？有两种方 法来作出判断，其一是采用内外测度的办法，回忆 微积分中求曲边梯形的面积时，通过将函数的定义 区间分割成若干小区间，然后以这些小区间为边作 若干小矩形包住曲边梯形，同时又让曲边梯形包住 以这些小区间为边的另一些小矩形，如果当划分越 来越细时，内外小矩形面积之和趋于同一个值，则 曲边梯形的面积就存在。否则就不存在，内外测度 方法与此很相似，集合E 的外测度是包住E 的一些 小长方体和体积之和的下确界，如何作内测度呢？ 第8讲 外测度 第8讲 外测度 为叙述方便，以直线上有界点集 为例，不妨设 ，若 可测， 也应可测，于是应有 。 如果开区间 盖住了 ，则 ，因此一种自然的方式是定义 的内测度为： 当 时，称 是可测集。 直观地解释内测度就是将 挖去一些 开区间后剩下部分的长度之上确界。回忆一下直 线上有界闭集的构造不难发现，内测度其实就是 包含在 中的闭集的测度之上确界；而闭集的测 度可以定义为某个包含它的闭区间长度减去其余 集的构成区间长度之和。 第8讲 外测度 第8讲 外测度 但是将这一方法推广到 中会带来一些技术上的麻烦，所以下面我们采用另外一种方法。 如果 是可测集（注意，我们尚未定义可测集）。 也应当是可测的，于是应有 。但 ，由外测度性质3 至少有一个为 ，所以上述等式恒成立。 第8讲 外测度 由此并不能得到关于可测性的任何实质性信息， 因此，我们将 限制在任意的开长方体 上，考 虑 与 是否可加，即对任意开长方 体 ，下式是否总成立： 假如对一切开长方体上式总成立，则可以证明对任意集合 ，下式也成立 第8讲 外测度 事实上，对任意 ，存在开长方体序列 ， 使 ，且 。 由于 第8讲 外测度 故 第8讲 外测度 由 的任意性知 ， 于是 。 我们就用该式来定义可测性。 第8讲 外测度 定义2 假设 ，如果对任意集合 ，都有 则称 为Lebesgue可测集，此时 称为 的Lebesgue测度，简记为 。 第8讲 外测度 等式（1）称为Caratheodory条件，它有一个等价的叙述方式，即：对任意 都有